Question

如图，椭圆C：经过点P （1，），离心率e=，直线l的方程为x=4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k₁，k₂，k₃．问：是否存在常数λ，使得k₁+k₂=λk₃？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意将点P （1，）代入椭圆的方程，得到，再由离心率为e=，将a，b用c表示出来代入方程，解得c，从而解得a，b，即可得到椭圆的标准方程；
（2）方法一：可先设出直线AB的方程为y=k（x-1），代入椭圆的方程并整理成关于x的一元二次方程，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用根与系数的关系求得x₁+x₂=，，再求点M的坐标，分别表示出k₁，k₂，k₃．比较k₁+k₂=λk₃即可求得参数的值；
方法二：设B（x，y）（x≠1），以之表示出直线FB的方程为，由此方程求得M的坐标，再与椭圆方程联立，求得A的坐标，由此表示出k₁，k₂，k₃．比较k₁+k₂=λk₃即可求得参数的值
解答：解：（1）椭圆C：经过点P （1，），可得  ①
由离心率e=得=，即a=2c，则b²=3c²②，代入①解得c=1，a=2，b=
故椭圆的方程为
（2）方法一：由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x-1）③
代入椭圆方程并整理得（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
x₁+x₂=，    ④
在方程③中，令x=4得，M的坐标为（4，3k），
从而，，=k-
注意到A，F，B共线，则有k=k_AF=k_BF，即有==k
所以k₁+k₂=+=+-（+）
=2k-×    ⑤
④代入⑤得k₁+k₂=2k-×=2k-1
又k₃=k-，所以k₁+k₂=2k₃
故存在常数λ=2符合题意
方法二：设B（x，y）（x≠1），则直线FB的方程为
令x=4，求得M（4，）
从而直线PM的斜率为k₃=，
联立，得A（，），
则直线PA的斜率k₁=，直线PB的斜率为k₂=
所以k₁+k₂=+=2×=2k₃，
故存在常数λ=2符合题意
点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查了分析转化的能力与探究的能力，考查了方程的思想，数形结合的思想，本题综合性较强，运算量大，极易出错，解答时要严谨运算，严密推理，方能碸解答出．