Question

已知椭圆的离心率为，焦距为2．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆右焦点且垂直于x轴的直线交椭圆于P，Q两点，C，D为椭圆上位于直线PQ异侧的两个动点，满足∠CPQ=∠DPQ，求证：直线CD的斜率为定值，并求出此定值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设椭圆C的方程，利用离心率为，焦距为2，求出几何量，即可得到椭圆方程；
（Ⅱ）设直线方程代入椭圆方程，确定x₁+x₂，x₁-x₂，即可求得斜率．
解答：解：（Ⅰ）由椭圆的离心率为，焦距为2，a²=b²+c²，
得c=1，a=，
所以，椭圆C的方程为；
（Ⅱ）设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），∠CPQ=∠DPQ时，PC，PD的斜率之和为0
设直线PC的斜率为k，则PD的斜率为-k，
由题意知，直线PQ为x=1，不妨令P（1，），Q（1，-）
则PC的直线方程为y-=k（x-1）代入椭圆方程，
可得（1+2k²）x²+2（-2k）kx+（2k²-+1）=0
∴，
同理PD的直线方程为y-=-k（x-1）代入椭圆方程，可得
∴x₁+x₂==，x₁-x₂=
∴k_CD====，
∴直线CD的斜率为定值 ．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．