Question

11．已知函数f（x）=|x-2|+|2x+1|．
（Ⅰ）解不等式f（x）＞5；
（Ⅱ）若关于x的方程$\frac{1}{f（x）-4}$=a的解集为空集，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分类讨论求得原不等式解集．
（Ⅱ）由分段函数f（x）的解析式可得f（x）的单调性，由此求得函数f（x）的值域，求出$\frac{1}{f（x）-4}$的取值范围．再根据关于x的方程$\frac{1}{f（x）-4}$=a的解集为空集，求得实数a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）解不等式|x-2|+|2x+1|＞5，
x≥2时，x-2+2x+1＞5，解得：x＞2；
-$\frac{1}{2}$＜x＜2时，2-x+2x+1＞5，无解，
x≤-$\frac{1}{2}$时，2-x-2x-1＞5，解得：x＜-$\frac{4}{3}$，
故不等式的解集是（-∞，-$\frac{4}{3}$）∪（2，+∞）；
（Ⅱ）f（x）=|x-2|+|2x+1|=$\left\{\begin{array}{l}{3x+1，x≥2}\\{x+3，-\frac{1}{2}＜x＜2}\\{-3x+1，x≤-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
故f（x）的最小值是$\frac{5}{2}$，所以函数f（x）的值域为[$\frac{5}{2}$，+∞），
从而f（x）-4的取值范围是[-$\frac{3}{2}$，+∞），
进而$\frac{1}{f（x）-4}$的取值范围是（-∞，-$\frac{2}{3}$]∪（0，+∞）．
根据已知关于x的方程$\frac{1}{f（x）-4}$=a的解集为空集，所以实数a的取值范围是（-$\frac{2}{3}$，0]．

点评 本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．