Question

如下图，已知直二面角α－PQ－β，A∈PQ，B∈α，C∈β，∠BAP＝45°，直线CA和平面α所成的角为30°．

(Ⅰ)证明BC⊥PQ；(Ⅱ)求二面角B－AC－P的大小．

Answer 1

答案：
解析：

(I)在平面内过点作于点，连结． 　　因为，，所以， 　　又因为，所以． 　　而，所以，，从而，又， 　　所以平面．因为平面，故． 　　(II)解法一：由(I)知，，又，，，所以． 　　过点作于点，连结，由三垂线定理知，． 　　故是二面角的平面角． 　　由(I)知，，所以是和平面所成的角，则， 　　不妨设，则，． 　　在中，，所以， 　　于是在中，． 　　故二面角的大小为． 　　解法二：由(I)知，，，，故可以为原点，分　　别以直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系(如下图)． 　　因为，所以是和平面所成的角，则． 　　不妨设，则，． 　　在中，， 　　所以． 　　则相关各点的坐标分别是 　　，，，． 　　所以，． 　　设是平面的一个法向量，由得 　　取，得． 　　易知是平面的一个法向量． 　　设二面角的平面角为，由图可知，． 　　所以． 　　故二面角的大小为．