讨论方程的不同实数的个数．

求函数的单调区间．

函数 f (x)在 [0, 上单调递减，求的递减区间。

已知f ( x )是定义在（－∞，+∞）上的奇函数，且f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) 对任意x，y∈R都成立．如果当x > 0时，f ( x ) < 0．试判断函数f ( x )在区间（－∞，+∞）上的单调性，并证明你的结论

某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N=N₀e^－λt,其中N₀,λ是正的常数.

（1）说明函数是增函数还是减函数；

（2）把t表示成原子数N的函数；（3）求当N=时，t的值.

已知如下图，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，点E与点F分别在PA与PB上，且，，M是PB的中点．

　　（1）求证：BC⊥PC；

　　（2）求异面直线EF与MC所成的角；

　　（3）求直线MC与底面ABC所成的角．

线段AC、BD、EF相等，并且两两互相垂直平分于点O，求证：A，B，C，D，E，F是正八面体的六个顶点．

已知a > 0，b > 0，是（0，+∞）上的减函数．

求证：f ( a + b ) < f ( a ) +  f ( b ) ．

奇函数f (x)的定义域为R，且在[0，+∞]上是增函数，是否存在实数m，使f (2t²－4)+f (4m－2mt)>f (0)对一切t∈[0，1]均成立？若存在，求出适合条件的所有实数m；若不存在，说明理由．

设为以原点为圆心，１为半径的圆内任两点，为以AB为直径的圆上的任一点．

求证：