（1）求证：A₁C⊥平面AEF；

（2）若规定两个平面所成的角是这两个平面所成的二面角中的锐角（或直角），则在空间中有定理：若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与这两个平面所成的角相等．

试根据上述定理，在AB=4，AD=3，AA₁=5时，求平面AEF与平面D₁B₁BD所成角的大小．（用反三角函数值表示）

⑴求证：PD⊥平面ABCD

⑵求异面直线PB与AC所成的角

⑶求二面角A－PB－D的大小

如图，在正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，底面边长和侧棱长都等于2．D是BB₁的中点．

①求证A₁C₁∥平面ADC；

②求点C₁到平面ABC的距离．

如图，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，∠ABC =90°，SA⊥面ABCD，SA =AB =BC =1，．

（Ⅰ）求四棱锥S—ABCD的体积；

    （Ⅱ）求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值．

【注意：本题的要求是，参照标①的写法，在标号②、③、④、⑤的横线上填写适当步骤，完成(Ⅰ)证明的全过程；并解答(Ⅱ)．】

如图：在正三棱柱ABC－A₁ B₁ C₁中，AB==a，E，F分别是BB₁，CC₁上的点且BE=a，CF=2a．

(Ⅰ)求证：面AEF⊥面ACF；

(Ⅱ)求三棱锥A₁－AEF的体积．

(Ⅰ)证明：

①∵ BE=a，CF=2a，BE∥CF，延长FE与CB延长线交于D，连结AD．

∴ △DBE∽△DCF

∴

②_____________________

∴ DB=AB．

③______________________

∴ DA⊥AC

④_______________________

∴ FA⊥AD

⑤_________________________

∴ 面AEF⊥面ACF．

（Ⅰ）证明∠MDC是二面角M－AB－C的平面角；

（Ⅱ）当∠MDC =∠CVN时，证明VC⊥平面AMB；

（Ⅲ）若∠MDC =∠CVN =θ（），求四面体MABC的体积.

如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面的圆周上，AF⊥DE，F是垂足．

(1)求证：AF⊥DB；

(2)如果圆柱与三棱锥D－ABE的体积的比等于3π，求直线DE与平面ABCD所成的角．

如图，已知正四棱柱，点在棱上，截面

∥，且面与底面所成的角为

Ⅰ.求截面的面积；

Ⅱ.求异面直线与AC之间的距离；

Ⅲ.求三棱锥的体积.

如图，在正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，E∈BB₁，截面A₁EC⊥侧面AC₁．

(Ⅰ)求证：BE=EB₁;

(Ⅱ)若AA₁=A₁B₁；求平面A₁EC与平面A₁B₁C₁所成二面角(锐角)的度数．

注意：在下面横线上填写适当内容，使之成为(Ⅰ)的完整证明，并解答(Ⅱ)．(右下图)

(Ⅰ)在截面A₁EC内，过E作EG⊥A₁C，G是垂足．

① ∵______________

∴EG⊥侧面AC₁;取AC的中点F，连结BF，FG，由AB=BC得BF⊥AC，

② ∵______________

∴BF⊥侧面AC₁;得BF∥EG，BF、EG确定一个平面，交侧面AC₁于FG．

③ ∵_______________

∴BE∥FG，四边形BEGF是平行四边形，BE=FG，

④ ∵______________

∴FG∥AA₁，△AA₁C∽△FGC，

⑤ ∵________________

∴，即