如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线排水管，在路南侧沿直线排水管（假设水管与公路的南，北侧在一条直线上且水管的大小看作为一条直线），现要在矩形区域ABCD内沿直线EF将与接通．已知AB = 60m，BC = 60m，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的EF部分的排管费用为每米2万元，设EF与AB所成角为．矩形区域内的排管费用为W．

（1）求W关于的函数关系式；
（2）求W的最小值及相应的角．

已知两点、，点为坐标平面内的动点，满足.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）若点是动点的轨迹上的一点，是轴上的一动点，试讨论直线与圆的位置关系.

设函数.
（1）研究函数的极值点；
（2）当时，若对任意的，恒有，求的取值范围；
（3）证明：.

已知函数.
（1）若曲线在和处的切线相互平行，求的值；
（2）试讨论的单调性；
（3）设，对任意的，均存在，使得.试求实数的取值范围.

已知函数，.
（1）若，求证：当时，；
（2）若在区间上单调递增，试求的取值范围；
（3）求证：.

已知函数.
(I)若,求函数的单调区间；
(Ⅱ)求证:
(Ⅲ)若函数的图象在点处的切线的倾斜角为,对于任意的,函数是的导函数)在区间上总不是单调函数,求的取值范围。

已知函数 ．
（Ⅰ）若函数在区间其中上存在极值，求实数的取值范围；
（Ⅱ）如果当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

已知函数．
（1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；
（2）当时，试比较与1的大小；
（3）求证：

已知函数
（1）当时，求的单调区间；
（2）若，设是函数的两个极值点，且，记分别为的极大值和极小值，令，求实数的取值范围.

已知函数的图象在上连续，定义：，.其中，表示函数在上的最小值，表示函数在上的最大值.若存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”.
（Ⅰ）若，试写出，的表达式；
（Ⅱ）已知函数，试判断是否为上的“阶收缩函数”.如果是，求出对应的；如果不是，请说明理由；
（Ⅲ）已知，函数是上的2阶收缩函数，求的取值范围.