正项数列的前n项和为，且。
（Ⅰ）证明数列为等差数列并求其通项公式；
（2）设，数列的前n项和为，证明：。

数列是递增的等差数列，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和的最小值；
（3）求数列的前项和．

已知为等比数列,其中a₁=1,且a₂,a₃+a₅,a₄成等差数列．
(1)求数列的通项公式：
(2)设,求数列{}的前n项和T_n．

已知等差数列{}的首项a₁=1，公差d>0，且分别是等比数列{}的b₂，b₃，b₄．
(I)求数列{}与{{}的通项公式；
(Ⅱ)设数列{}对任意自然数n均有成立，求的值．

已知首项为的等比数列{a_n}是递减数列，其前n项和为S_n，且S₁+a₁，S₂+a₂，S₃+a₃成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）已知，求数列{b_n}的前n项和．

已知首项为的等比数列{a_n}是递减数列，其前n项和为S_n，且S₁+a₁，S₂+a₂，S₃+a₃成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若，数列{b_n}的前n项和T_n，求满足不等式≥的最大n值．

已知集合，对于数列中.
（Ⅰ）若三项数列满足，则这样的数列有多少个？
（Ⅱ）若各项非零数列和新数列满足首项，（），且末项，记数列的前项和为，求的最大值．

设数列{a_n}满足a_n+1=2a_n+n²-4n+1．
（1）若a₁=3，求证：存在（a，b，c为常数），使数列{a_n+f(n)}是等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（2）若a_n是一个等差数列{b_n}的前n项和，求首项a₁的值与数列{b_n}的通项公式．

设数列{a_n}满足a_n+1=2a_n+n²-4n+1．
（1）若a₁=3，求证：存在（a，b，c为常数），使数列{a_n+f(n)}是等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（2）若a_n是一个等差数列{b_n}的前n项和，求首项a₁的值与数列{b_n}的通项公式．

设等差数列的前项和为，已知，.
（1）求；
（2）若从中抽取一个公比为的等比数列，其中，且，.
①当取最小值时，求的通项公式；
②若关于的不等式有解，试求的值.