数列{}中，a₁=3，，
(1)求a₁、a₂、a₃、a₄；
(2)用合情推理猜测关于n的表达式(不用证明)；
(3)用合情推理猜测{}是什么类型的数列并证明；
(4)求{}的前n项的和。

已知数列的首项为，对任意的，定义.
（Ⅰ） 若，
(i)求的值和数列的通项公式；
(ii)求数列的前项和；
（Ⅱ）若，且，求数列的前项的和.

在数列{a_n}（n∈N*）中，已知a₁＝1，a_2k＝－a_k，a_2k－1＝(－1)^k+1a_k，k∈N*. 记数列{a_n}的前n项和为S_n.
（1）求S₅，S₇的值；
（2）求证：对任意n∈N*，S_n≥0.

已知数列的前项和为，点在直线上.数列满足，且，前9项和为153.
（1）求数列、{的通项公式；
（2）设，数列的前和为，求使不等式对一切都成立的最大正整数的值；
（3）设，问是否存在，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

设正项数列都是等差数列，且公差相等，（1）求的通项公式；（2）若的前三项，记数列数列的前n项和为

在数列中，，且.
(Ⅰ) 求，猜想的表达式，并加以证明；
(Ⅱ)设，求证：对任意的自然数都有.

数列的前项和为，，，等差数列满足．
（1）分别求数列，的通项公式；      
（2）设，求证．

设各项均为正实数的数列的前项和为，且满足（）．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列的通项公式为（），若，，（）成等差数列，求和的值；
（Ⅲ）证明：存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形，其三边长为数列中的三项，，．

已知数列 的前项和为，设，且.
(1)证明{}是等比数列；
(2)求与.

数列的前项和为，且
（1）写出与的递推关系式，并求,,的值；
（2）猜想关于的表达式，并用数学归纳法证明．