设数列满足：。
（1）求证：；
（2）若，对任意的正整数恒成立，求的取值范围。

（本题满分14分）
对数列{a_n}，规定{△a_n}为数列{a_n}的一阶差分数列，其中。
对自然数k，规定为{a_n}的k阶差分数列，其中。
（1）已知数列{a_n}的通项公式，试判断是否为等差或等比数列，为什么？
（2）若数列{a_n}首项a₁=1，且满足，求数列{a_n}的通项公式。
（3）对（2）中数列{a_n}，是否存在等差数列{b_n}，使得对一切自然都成立？若存在，求数列{b_n}的通项公式；若不存在，则请说明理由。

（本小题满分12分）
在数列中，为常数，，且成公比不等于1的等比数列.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设，求数列的前项和。

（本小题满分13分）
在数列{a_n}中，a₁=1，a_n=n²[1+++…+] （n≥2，n∈N）
（1）当n≥2时，求证：=
（2）求证：（1+）（1+）…（1+）<4

（本小题满分12分）设数列满足且对一切，有
（1）求数列的通项;
（2）设 ，求的取值范围．

（本小题满分12分）
在数列中，且成等差数列，成等比数列
（1）求及；
（2）猜想的通项公式，并证明你的结论.

(满分13分)已知各项均为正数的数列是数列的前n项和，对任意，有2S_n=2．
（Ⅰ）求常数p的值； 
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）记，（）若数列从第二项起每一项都比它的前一项大，求的取值范围．

设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和，已知，且构成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.

(本题满分12分)
已知数列的前 n项和为，满足，且.
（Ⅰ）求，；
（Ⅱ）若，求证：数列是等比数列。
（Ⅲ）若 ， 求数列的前n项和。

已知方程tan²x一tan x+1=0在x[0，n)( nN*)内所有根的和记为a_n
(1)写出a_n的表达式；(不要求严格的证明)
(2)记S_n = a₁ + a₂ +…+ a_n求S_n；
(3)设b_n =(kn一5) ，若对任何nN* 都有a_nb_n，求实数k的取值范围．