设椭圆C₁：的右焦点为F，P为椭圆上的一个动点．
（1）求线段PF的中点M的轨迹C₂的方程；
（2）过点F的直线l与椭圆C₁相交于点A、D，与曲线C₂顺次相交于点B、C，当时，求直线l的方程．

已知椭圆：（）的右焦点为，且椭圆过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设斜率为的直线与椭圆交于不同两点、，以线段为底边作等腰三角形，其中顶点的坐标为，求△的面积．

已知椭圆过点，且离心率为.斜率为的直线与椭圆交于A、B两点，以为底边作等腰三角形，顶点为.
（1）求椭圆的方程；
（2）求△的面积．

已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，且过点（）．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设直线l:y=kx+t与圆（1＜R＜2）相切于点A，且l与椭圆E只有一个公共点B.
①求证：；
②当R为何值时，取得最大值？并求出最大值．

已知椭圆的左右顶点分别为，离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点为曲线:上任一点（点不同于），直线与直线交于点，为线段的中点，试判断直线与曲线的位置关系，并证明你的结论．

我们将不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线，这个公共点称为切点．解决下列问题：
已知抛物线上的点到焦点的距离等于4，直线与抛物线相交于不同的两点、，且（为定值）．设线段的中点为，与直线平行的抛物线的切点为．.

（1）求出抛物线方程，并写出焦点坐标、准线方程；
（2）用、表示出点、点的坐标，并证明垂直于轴；
（3）求的面积，证明的面积与、无关，只与有关.

如图，直线与抛物线（常数）相交于不同的两点、，且（为定值），线段的中点为，与直线平行的切线的切点为（不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线，这个公共点为切点）．

（1）用、表示出点、点的坐标，并证明垂直于轴；
（2）求的面积，证明的面积与、无关，只与有关；
（3）小张所在的兴趣小组完成上面两个小题后，小张连、，再作与、平行的切线，切点分别为、，小张马上写出了、的面积，由此小张求出了直线与抛物线围成的面积，你认为小张能做到吗？请你说出理由．

如图，已知平面内一动点到两个定点、的距离之和为，线段的长为.

（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点作直线与轨迹交于、两点，且点在线段的上方，
线段的垂直平分线为.
①求的面积的最大值；
②轨迹上是否存在除、外的两点、关于直线对称，请说明理由.

如图，已知平面内一动点到两个定点、的距离之和为，线段的长为.

（1）求动点的轨迹；
（2）当时，过点作直线与轨迹交于、两点，且点在线段的上方，线段的垂直平分线为
①求的面积的最大值；
②轨迹上是否存在除、外的两点、关于直线对称，请说明理由.

已知抛物线的准线与x轴交于点M，过点M作圆的两条切线，切点为A、B，.
（1）求抛物线E的方程；
（2）过抛物线E上的点N作圆C的两条切线，切点分别为P、Q，若P，Q，O（O为原点）三点共线，求点N的坐标.