已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长为，且点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆长轴上的一个动点，过作方向向量的直线交椭圆于、两点，求证：为定值．

已知椭圆C：的两个焦点是F₁(c,0)，F₂(c，0)(c>0)。
(I)若直线与椭圆C有公共点，求的取值范围；
(II)设E是(I)中直线与椭圆的一个公共点，求|EF₁|+|EF₂|取得最小值时，椭圆的方程；
(III)已知斜率为k(k≠0)的直线l与(II)中椭圆交于不同的两点A，B，点Q满足   且，其中N为椭圆的下顶点，求直线l在y轴上截距的取值范围．

给定椭圆C：，若椭圆C的一个焦点为F(，0)，其短轴上的一个端点到F的距离为．
(I)求椭圆C的方程；
(II)已知斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点Q满足且=0，其中N为椭圆的下顶点，求直线在y轴上截距的取值范围．

已知椭圆C：的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数，直线与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切。
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设M是椭圆的上顶点，过点M分别作直线MA,MB交椭圆于A,B两点，设两直线的斜率分别为k₁,k₂,且k₁＋k₂＝2，证明：直线AB过定点(―1,―1)

如图，设F(－c,0)是椭圆的左焦点，直线l：x＝－与x轴交于P点，MN为椭圆的长轴，已知|MN|＝8，且|PM|＝2|MF|。

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点P的直线m与椭圆相交于不同的两点A,B。
①证明：∠AFM＝∠BFN；
②求△ABF面积的最大值。

已知椭圆的一个焦点为，过点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为；为椭圆上的四个点。
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)若，且，求四边形的面积的最大值和最小值.

已知坐标平面内：，：.动点P与外切与内切.
（1）求动圆心P的轨迹的方程;
（2）若过D点的斜率为2的直线与曲线交于两点A、B,求AB的长;
（3）过D的动直线与曲线交于A、B两点，线段中点为M，求M的轨迹方程.

已知椭圆：的离心率为，右焦点为，右顶点在圆：上.
（Ⅰ）求椭圆和圆的方程；
（Ⅱ）已知过点的直线与椭圆交于另一点，与圆交于另一点.请判断是否存在斜率不为0的直线，使点恰好为线段的中点，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.

已知椭圆:的离心率为，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于点（点在第一象限）.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知为椭圆的左顶点，平行于的直线与椭圆相交于两点.判断直线是否关于直线对称，并说明理由.

已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为的正方形（记为）
（Ⅰ）求椭圆的方程
（Ⅱ）设点是直线与轴的交点，过点的直线与椭圆相交于两点，当线段的中点落在正方形内（包括边界）时，求直线斜率的取值范围