已知椭圆的长轴长是短轴长的两倍，焦距为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设不过原点的直线与椭圆交于两点、，且直线、、的斜率依次成等比数列，求△面积的取值范围.

已知双曲线的两个焦点为的曲线C上.（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）记O为坐标原点，过点Q (0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为求直线l的方程

直线与椭圆交于，两点，已知
，，若且椭圆的离心率，又椭圆经过点，
为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线过椭圆的焦点（为半焦距），求直线的斜率的值；

已知椭圆C的方程为左、右焦点分别为F₁、F₂，焦距为4，点M是椭圆C上一点，满足
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点P（0，2）分别作直线PA，PB交椭圆C于A，B两点，设直线PA，PB的斜率分别为k₁，k₂，，求证：直线AB过定点，并求出直线AB的斜率k的取值范围。

在直角坐标系xOy中，已知点P，曲线C的参数方程为（φ为参数）。以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为。
（1）判断点P与直线l的位置关系，说明理由；
（2）设直线l与直线C的两个交点为A、B，求的值。

设椭圆C：的两个焦点为F₁、F₂，点B₁为其短轴的一个端点，满足，。

（1）求椭圆C的方程；
（2）过点M 做两条互相垂直的直线l₁、l₂设l₁与椭圆交于点A、B，l₂与椭圆交于点C、D，求的最小值。

己知椭圆的离心率为，是椭圆的左右顶点，是椭圆的上下顶点，四边形的面积为.
（1）求椭圆的方程；
（2）圆过两点．当圆心与原点的距离最小时，求圆的方程．

在平面直角坐标系中，点到两点，的距离之和等于4，设点的轨迹为．
（Ⅰ）写出的方程；
（Ⅱ）设直线与交于两点．k为何值时？此时的值是多少？

设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,,动点的轨迹为E.
（1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;
（2）已知,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且(O为坐标原点),并求出该圆的方程;
（3）已知,设直线与圆C:(1<R<2)相切于A₁,且与轨迹E只有一个公共点B₁,当R为何值时,|A₁B₁|取得最大值?并求最大值.

直线与椭圆交于，两点，已知
，，若且椭圆的离心率，又椭圆经过点，
为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线过椭圆的焦点（为半焦距），求直线的斜率的值；