已知圆

   （1）求证：当时，直线l与圆C恒有两个不同的交点；

   （2）设l与圆交于A、B两点，若的倾斜角；

   （3）求弦AB的中点M的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线。

已知椭圆左、右焦点分别为F₁、F₂，点，点F₂在线段PF₁的中垂线上。

   （1）求椭圆C的方程；（8分）

   （2）设直线与椭圆C交于M、N两点，直线F₂M与F₂N的倾斜角分别为，且，求证：直线过定点，并求该定点的坐标。（12分）

已知双曲线C的中心在坐标原点O，两条准线的距离为，其中一个焦点恰与抛物线x ² + 10 x 4 y + 21 = 0的焦点重合。

（1）求双曲线C的方程；

（2）若P为C上任意一点，A为双曲线的右顶点，通过P、O的直线与从A所引平行于渐近线的直线分别交于Q、R。试证明：| OP |是| OQ |与| OR |的等比中项。

已知抛物线的焦点为F，以点A（，0）为圆心，为半径的圆在x轴的上方与抛物线交于M、N两点。

    （1）求证：点A在以M、N为焦点，且过F的椭圆上。

已知数列的前项之和为，且满足，

（1）、求证：是等差数列；

（2）、求的表达式；

（3）、若，求证：。