2.　 三角与复数

例5　 如果函数y = sin2x + a cos2x的图象关于x＝对称，则a＝(　 ).

　　 A.　　　　　 B.－　　 C. 1　　　　　　 D. －1

讲解　 因为点(0，0)与点(，0)关于直线x＝对称，所以a必满足：

　　　　　　　　　　　　　 sin0 + a cos0=sin()+ a cos()，

解出a＝－1，从而可以排除A， B， C.，故应选D.

例6 　在内，使成立的的取值范围是(　 )．

A.　 　　　　　　　　　　　　B.　

C.　 　　　　　　　　　　　　D.　

讲解　 将原不等式转化为 由，知，从而，故应选C.

事实上，由显然满足，从而否定A, B, D, 故应选C.

亦可在同一坐标系中，作出函数和在上的图象，进行直观求解．

例7　 复数在复平面上对应的点不可能位于(　 )．

A.　 第一象限　　　　　　　　　　　　　　　 B. 第二象限

C.　 第三象限　　　　　　　　　　　　　　　 D. 第四象限

讲解　　　

由无解，可知应选A.

亦可取特值进行排除．事实上

记复数对应的点为P．若取，点P在第二象限；若取，则点P在第三象限; 若取，则点P在第四象限，故应选A.

例8 　把曲线先沿轴向右平移个单位，再沿轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是(　 )．

A. 　　　　　　B.　

C.　 　　　　　　D.　

讲解　 对作变换

得　　　　　　　

即　 　　　　　　　　　　．

　　　 故应选C.

　　　 记住一些运动变换的小结论是有效的．本题是函数向方程式的变式，较为新颖．

1.　　　　 函数与不等式

例1　　　　　 已知则的值等于(　 ).

A. 0　　　　　　　 B.　 　　　　　　　C.　 　　　　　　　　D.　　 9

讲解　 由,可知选C.

例2　 　函数是单调函数的充要条件是(　 ).

A.　　　 B.　　　　 C. 　　　　　　　　　　D.　

讲解　 抛物线的开口向上,其对称轴为，于是有是递增区间，从而即应选A.

例3　 不等式的解集是(　 ).

A. 　　　B. 　　C. 　　　D.　　

讲解　 当与异号时，有, 则必有，从而，解出，故应选A.

例4　　　　 关于函数，有下面四个结论：

(1)是奇函数；

(2)当时，恒成立；

(3)的最大值是;

　(4) 的最小值是.

其中正确结论的个数是(　 ).

　　　 A. 1个　　　　　　 B.　 2个　　　　　 C.　 3个　　　　　　　　　 D. 4个

　　　 讲解 由是偶函数，可知(1)错；

　　　 又当时，，所以错(2);

　　　 当，故(3)错；

　　　 从而对照选支应选A.

4.　　　 解析几何

例18　 直线被抛物线截得线段的中点坐标是___________.

讲解　由消去y，化简得

设此方程二根为，所截线段的中点坐标为，则

故 应填 .

　　 例19 椭圆上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，则当m取最大值时，点P的坐标是_____________________.

讲解　 记椭圆的二焦点为，有

则知　　　　

　　 显然当，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25.

　　 故应填或

　　 例20　 一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的函数解析式是，在杯内放一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r的取值范围是___________.

讲解　 依抛物线的对称性可知，大圆的圆心在y轴上，并且圆与抛物线切于抛物线的顶点，从而可设大圆的方程为　

　　 由　　　　　　　　　

消去x，得　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(*)

解出　　 　　　　　　　或

　　 要使(*)式有且只有一个实数根，只要且只需要即

　　 再结合半径，故应填

填空题的类型一般可分为：完形填空题、多选填空题、条件与结论开放的填空题. 这说明了填空题是数学高考命题改革的试验田，创新型的填空题将会不断出现. 因此，我们在备考时，既要把关注这一新动向，又要做好应试的技能准备.

高考数学选择题怎么选

解答高考数学选择题既要求准确破解，又要快速选择，正如《考试说明》中明确指出的，应“多一点想的，少一点算的”，该算不算，巧判关. 因而，在解答时应该突出一个＂选＂字，尽量减少书写解题过程，在对照选支的同时，多方考虑间接解法，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择巧法，以便快速智取. 下面按知识版块加以例说.

4. 立体几何

　　 例15 　过长方体一个顶点的三条棱长为3、4、5, 且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的表面积是________.

讲解　长方体的对角线就是外接球的直径,　即有

从而　　，故应填

例16　 若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积是　　　　(只需写出一个可能的值)．

讲解 　本题是一道很好的开放题，解题的开窍点是：每个面的三条棱是怎样构造的，依据“三角形中两边之和大于第三边”，就可否定{1，1，2}，从而得出{1，1，1}，{1，2，2}，{2，2，2}三种形态，再由这三类面构造满足题设条件的四面体，最后计算出这三个四面体的体积分别为： , ,，故应填.、 、 中的一个即可.

例17 　如右图，E、F分别是正方体的面ADD₁A₁、面BCC₁B₁的中心，则四边形BFD₁E在该正方体的面上的射影可能是　　　.(要求：把可能的图的序号都填上)

讲解　 因为正方体是对称的几何体，所以四边形BFD₁E在该正方体的面上的射影可分为：上下、左右、前后三个方向的射影，也就是在面ABCD、面ABB₁A₁、面ADD₁A₁上的射影.

四边形BFD₁E在面ABCD和面ABB₁A₁上的射影相同，如图2所示；

四边形BFD₁E在该正方体对角面的ABC₁D₁内，它在面ADD₁A₁上的射影显然是一条线段，如图3所示. 　故应填23.

3.　　　 数列、排列组合与二项式定理

例10　已知是公差不为零的等差数列，如果是的前n项和，那么

　　 讲解　特别取，有，于是有

　　　　　 故应填2.

例11　　　　　 数列中， , 则

　　 讲解　 分类求和，得

　　 ，故应填．

例12　　　　　 有以下四个命题：

①

②

③凸n边形内角和为 ④凸n边形对角线的条数是

其中满足“假设时命题成立，则当n=k+1时命题也成立’’.但不满足“当(是题中给定的n的初始值)时命题成立”的命题序号是　　　　.

讲解 ①当n=3时，，不等式成立；

②　　　 当n=1时，，但假设n=k时等式成立，则

　　；

③　，但假设成立，则

④　，假设成立，则

故应填②③.

　例13　某商场开展促销活动，设计一种对奖券，号码从000000到999999. 若号码的奇位数字是不同的奇数，偶位数字均为偶数时，为中奖号码，则中奖面(即中奖号码占全部号码的百分比)为　　　　.

　　 讲解 　中奖号码的排列方法是：　奇位数字上排不同的奇数有种方法，偶位数字上排偶数的方法有，从而中奖号码共有种，于是中奖面为

　　 故应填

例14 　的展开式中的系数是

_{讲解　由知，所求系数应为的x项的系数与项的系数的和，即有}

_{故应填1008.}

2.　　　 三角与复数

例5 　已知点P在第三象限，则角的终边在第象限.

讲解　由已知得

从而角的终边在第二象限，故应填二.

例6 不等式()的解集为.

讲解 注意到，于是原不等式可变形为

而，所以，故应填

例7 　如果函数的图象关于直线对称，那么

讲解　，其中.

是已知函数的对称轴，

，

即　　，

于是　　　故应填 .

　　 在解题的过程中，我们用到如下小结论：

　　 函数和的图象关于过最值点且垂直于x轴的直线分别成轴对称图形.

例8 设复数在复平面上对应向量，将按顺时针方向旋转后得到向量，对应的复数为，则

讲解　应用复数乘法的几何意义，得

　　　，

于是　　

　　 故应填　

　　 例9　　 设非零复数满足　，则代数式　的值是____________.

　　 讲解　将已知方程变形为　，

解这个一元二次方程，得

　　 显然有,　而,于是

　　 原式＝

　　 　＝

　　 　＝

　　 在上述解法中，“两边同除”的手法达到了集中变量的目的，这是减少变元的一个上策，值得重视.

1.　　　 函数与不等式

例1 已知函数，则

讲解　由，得，应填4.

请思考为什么不必求呢？

例2 　集合的真子集的个数是

讲解　，显然集合M中有90个元素，其真子集的个数是，应填.

　快速解答此题需要记住小结论;对于含有n个元素的有限集合,其真子集的个数是

例3 　若函数的图象关于直线对称，则

讲解　由已知抛物线的对称轴为,得　，而，有，故应填6.

例4 　如果函数，那么

讲解　容易发现，这就是我们找出的有用的规律，于是

　　 原式＝，应填

　　 本题是2002年全国高考题，十分有趣的是，2003年上海春考题中也有一道类似题：

　　 设，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得

5、已知

　(1)若，在上的最大值为2，最小值为，证明：且。

　(2)若，是满足的实数，且对任意的实数均满足，证明：。

高考数学填空题怎么填

填空题是数学高考的三种基本题型之一，其求解方法分为：直接运算推理法、赋值计算法、规律发现法、数形互助法等等. 解题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整. 合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求. 下面将按知识分类加以例说.

4、二次函数若的根在内，

　(1)求证：；　 (2)

　(3)若有一个根为，且当时，的最大值为M，求证：。

3、已知二次函数：的图象与轴有两个不同的公共点，若，且时，；

(1)比较与的大小；　 (2)证明：；

(3)当时，求证：