如图，设抛物线C₁：y²=4mx（m＞0）的准线与x轴交于F₁，焦点为F₂；以F₁，F₂为焦点，离心率e=

1

2

的椭圆C₂与抛物线C₁在x轴上方的交点为P．
（1）当m=1时，求椭圆C₂的方程；
（2）当△PF₁F₂的边长恰好是三个连续的自然数时，求抛物线方程；此时设⊙C₁、⊙C₂…⊙C_n是圆心在y²=4mx（m＞0）上的一系列圆，它们的圆心纵坐标分别为a₁，a₂…a_n，已知a₁=6，a₁＞a₂＞…＞a_n＞0，又⊙C_k（k=1，2，…，n）都与y轴相切，且顺次逐个相邻外切，求数列{a_n}的通项公式．

如图，设抛物线C₁：y²=4mx（m＞0）的准线与x轴交地F₁，焦点为F₂，以F₁、F₂为焦点，离心率e=

1

2

的椭圆C₂与抛物线C₂在x轴上方的交点为P．
（1）当m=1时，求椭圆C₂的方程；
（2）延长PF₂交抛物线于点Q，M是抛物线C₁上一动点，且M在P与Q之间运动，当△PF₁F₂的边长恰好是三个连续的自然数时，求△MPQ面积的最大值．

如图，椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1上的点M与椭圆右焦点F₁的连线MF₁与x轴垂直，且OM（O是坐标原点）与椭圆长轴和短轴端点的连线AB平行．
（1）求椭圆的离心率；
（2）F₂是椭圆的左焦点，C是椭圆上的任一点，证明：∠F₁CF₂≤

π

2

；
（3）过F₁且与AB垂直的直线交椭圆于P、Q，若△PF₂Q的面积是20

3

，求此时椭圆的方程．

如图，已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），焦点为F₁、F₂，双曲线G：x²-y²=m（m＞0）的顶点是该椭圆的焦点，设P是双曲线G上异于顶点的任一点，直线PF₁、PF₂与椭圆的交点分别为A、B和C、D，已知三角形ABF₂的周长等于8

2

，椭圆四个顶点组成的菱形的面积为8

2

．
（1）求椭圆E与双曲线G的方程；
（2）设直线PF₁、PF₂的斜率分别为k₁和k₂，探求k₁和k₂的关系；
（3）是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．