题目列表(包括答案和解析)
数列
的前
项和为
，数列
的前项的和为
，为等差数列且各项均为正数，
，
，
（Ⅰ）求证：数列是等比数列；
（Ⅱ）若
，
，
成等比数列，求．
数列
的前
项和为
，若
，点
在直线
上.
(Ⅰ)求证：数列
是等差数列，并求的通项公式
；
（Ⅱ）若数列
满足
，求数列的前项和
；
数列
的前
项和为
，若
，点
在直线
上．
⑴求证：数列
是等差数列；
⑵若数列
满足
，求数列的前项和
；
⑶设
，求证：
．
数列
的前
项和为
，
．
（Ⅰ）设
，证明：数列
是等比数列；
（Ⅱ）求数列
的前项和
.
（Ⅲ）若
，
，求不超过
的最大的整数值．
数列
的前
项和为
，若
，点
在直线
上.
(Ⅰ)求证：数列
是等差数列，并求的通项公式
；
（Ⅱ）若数列
满足
，求数列的前项和
；
一、填空题：
1. 
2. 三 3. 1 4. 25 5. 
6. -1 7. 
8. (1,0)
9. 
10. 8 11. 1 12. （0，2） 13. 2026 14. ①②③
二、解答题：
15. 解：（1）因为
，
，所以
…………………………4分
……………………………………………………..6分
因此，当
，即
（
）时，
取得最大值
；…8分
（2）由
及
得
，两边平方得
，即
．……………………………………………12分
因此，
．……………………………14分
16.解：由已知不等式得
①
或 
②
不等式①的解为
不等式②的解为
或
…………………………………………………4分
因为，对或或时，P是正确的………………………..6分
对函数
求导
…8分
令
，即
当且仅当D>0时，函数f(
)在(－¥,+¥)上有极值
由
得
或
，
因为，当或时，Q是正确的………………………………………………12分
综上，使P正确且Q正确时，实数m的取值范围为(-¥,-1)È
……….14分
17.解：（1）因为函数
的图象关于原点对称，所以
即
，
，得
或
……………………………………….2分
当
时，
舍去；
当时，
，令
，解得
或
.
所以符合条件的m值为-1 …………………………………………………………………4分
（2）由（1）得
，任取
，
……………………6分
∴
，
∴
………………………………………………………………….8分
∴当
时，
即
，此时
为增函数；
当
时，
即
，此时为减函数…10分
（3）由（2）知，当时在
上为减函数；同理在
上也为减函数
当
时，
与已知矛盾，舍去；………………12分
当
时，因为函数的值域为
∴
且
，解得
，
……………………………………14分
18.解：（1）由
，令
，则
，又
，所以
.
，则
. …………………………………………………………………………………….2分
当
时，由，可得
. 即
..6分
所以
是以为首项，
为公比的等比数列，于是
. ……8分
（2）数列
为等差数列，公差
,可得
. ….10分
从而
. ……………………………………………..12分
∴
……….16分
19.解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为
，全程运输成本为
……………………………………….4分
故所求函数及其定义域为
………………………….6分
(2)依题意知a，v都为正数，故有
当且仅当
．即
时上式中等号成立………………………...8分
（1）若
，即
时则当时，全程运输成本y最小.10分
（2）若
，即
时，则当
时，有
.
。也即当v=100时，全程运输成本y最小．…….14分
综上知，为使全程运输成本y最小，当时行驶速度应为千米/时；
当时行驶速度应为v=
20．解： (1) 
，当
，
，单调递减，当
，
，单调递增．………………………………………………………………..2分
① 
，t无解；
② 
，即
时，
；
③ 
，即
时，在
上单调递增，
；
所以
．…………………………………………………………..6分
(2) 
，则
，………………………………………..8分
设
，则
，
，
，
单调递减，
，
，单调递增，所以
……………………….10分
因为对一切
，
恒成立，所以
；………………..12分
（3） 问题等价于证明
，由⑴可知
的最小值是
，当且仅当
时取到………………………………………………………….14分
设
，则
，易得
，当且仅当
时取到，从而对一切，都有
成立．……………………………..16分
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