7．如图，△ABC是圆O的内接三角形，AC＝BC，D为圆O中

上一点，延长DA至点E，使得CE＝CD.

(1)求证：AE＝BD；

(2)若AC⊥BC，求证：AD+BD＝CD.

证明：(1)在△ABC中，∠CAB＝∠CBA.

在△ECD中，∠CED＝∠CDE.

∵∠CBA＝∠CDE，∴∠ACB＝∠ECD.

∴∠ACB－∠ACD＝∠ECD－∠ACD.

∴∠ACE＝∠BCD.

又CE＝CD，AC＝BC，

∴△ACE≌△BCD.

∴AE＝BD.

(2)若AC⊥BC，

∵∠ACB＝∠ECD，

∴∠ECD＝90°，∠CED＝∠CDE＝45°.

∴DE＝CD.

又∵AD+BD＝AD+EA＝ED，

∴AD+BD＝CD.

6．如图，AB、CD是圆的两条平行弦，BE∥AC，并交CD

于E，交圆于F，过A点的切线交DC的延长线于P，

PC＝ED＝1，PA＝2.

(1)求AC的长；

(2)求证：EF＝BE.

解：(1)∵PA²＝PC·PD，PA＝2，PC＝1，∴PD＝4，

又∵PC＝ED＝1，∴CE＝2.

∵∠PAC＝∠CBA，∠PCA＝∠CAB，

∴△PAC∽△CBA，

∴＝，∴AC²＝PC·AB，

又∵AB∥CE，AC∥BE，

∴四边形ABEC为平行四边形，

∴AB＝CE＝2，∴AC＝.

(2)证明：∵CE·ED＝BE·EF，BE＝AC＝.

∴EF＝＝，∴EF＝BE.

5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，＝，

过A点的切线交CB的延长线于E点．

求证：AB²＝BE·CD.

证明：连结AC，因为EA切⊙O于A，

所以∠EAB＝∠ACB.

因为＝，

所以∠ACD＝∠ACB，AB＝AD.

于是∠EAB＝∠ACD.

又四边形ABCD内接于⊙O，所以∠ABE＝∠D.

所以△ABE∽△CDA.

于是＝，即AB·DA＝BE·CD.

所以AB²＝BE·CD.

4．如图，AB是圆O的直径，P为圆外一点，PB是圆O的切线，

PA是圆O的割线且与圆O相交于点C.过点C作圆O的切线与

PB交于D点．求证：

(1)OD∥AP；

(2)PD·PB＝PC·OD.

证明：(1)连结OC，BC，

在△OCD和△OBD中

∠OCD＝∠OBD＝90°，

OB＝OC，OD＝OD，

∴△OCD≌△OBD，

∴∠BOD＝∠COD＝∠BOC.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

又∠BOC与∠BAC分别是所对的圆心角和圆周角

∴∠BOC＝∠BAC，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

由①②得∠BOD＝∠BAC，

∴OD∥AP.

(2)∵PB²＝PC·PA，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ③

由(1)知OD∥AP，O为AB中点，

∴DO是△BPA的中位线，

∴PA＝2OD，PB＝2PD，代入③得

2PD·PB＝PC·2OD，

即PD·PB＝PC·OD.

3．如图，AB是圆O的直径，弦BD、CA的延长线相交于

点E，EF垂直BA的延长线于点F.

求证：∠DEA＝∠DFA.

证明：连结AD，因为AB为圆的直径，

所以∠ADB＝90°，又EF⊥AB，∠EFA＝90°，

所以A、D、E、F四点共圆．所以∠DEA＝∠DFA.

2．如图所示，已知⊙O₁和⊙O₂相交于A、B两点，

过A点作⊙O₁的切线交⊙O₂于点C，过点B作

两圆的割线，分别交⊙O₁、⊙O₂于点D、E，DE

与AC相交于点P.

(1)求证：AD∥EC；

(2)若AD是⊙O₂的切线，且PA＝6，PC＝2，BD＝9，求AD的长．

解：(1)证明：连结AB，

∵AC是⊙O₁的切线，

∴∠BAC＝∠D.

又∵∠BAC＝∠E，

∴∠D＝∠E.∴AD∥EC.

(2)设BP＝x，PE＝y，∵PA＝6，PC＝2，∴xy＝12.　　　　　　　　　　　　 ①

∵AD∥EC，∴＝⇒＝.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

由①②可得或(舍去)

∴DE＝9+x+y＝16.∵AD是⊙O₂的切线，

∴AD²＝DB·DE＝9×16.∴AD＝12.

1．如图，已知⊙O的半径为2，弦AB的长为2，点C是劣弧ACB上

任一点，(点C不与A、B重合)，求∠ACB.

解：连结OA、OB，过O作OE⊥AB，E为垂足，则AE＝BE.

在Rt△AOE中，OA＝2，AE＝AB＝×2＝，

∴sin∠AOE＝＝，

∴∠AOE＝60°，

∴∠AOB＝2∠AOE＝120°，在优弧上任取一点D(不与A、B重合)，

∴∠ADB＝∠AOB＝60°，

∴∠ACB＝180°－∠ADB＝120°.

8．如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于D，

BE是∠ABC的平分线，交AD于F，交AC于E，

求证：＝.

证明：∵BE是∠ABC的平分线，

∴＝，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

＝，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

在Rt△ABC中，由射影定理知，

AB²＝BD·BC，即＝　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　③

由①③得：＝，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ④

由②④得：＝.

7．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，

DF⊥AC于F.

求证：AE·AB＝AF·AC.

证明：∵AD⊥BC，

∴△ADB为直角三角形，

又∵DE⊥AB，由射影定理知，AD²＝AE·AB.

同理可得AD²＝AF·AC，

∴AE·AB＝AF·AC.

6．如图，在等腰梯形中，AB∥CD，AD＝12 cm，AC交梯形

中位线EG于点F，若EF＝4 cm，FG＝10 cm.求此梯形的

面积．

解：如图所示，作高DM、CN，则四边形DMNC为矩形．

∵EG是梯形ABCD的中位线，

∴EG∥DC∥AB.

∴F是AC的中点．

∴DC＝2EF＝8，AB＝2FG＝20，MN＝DC＝8.

在Rt△ADM和Rt△BCN中，

AD＝BC，∠DAM＝∠CBN，∠AMD＝∠BNC＝90°，

∴△ADM≌△BCN.

∴AM＝BN＝(20－8)＝6，

∴DM＝＝＝6，

∴S_梯形＝EG·DM＝14×6＝84 (cm²)．