337.　 在平行六面体中，一个顶点上三条棱长分别是a,b,c，这三条棱长分别是a,b,c，这三条棱中每两条成60°角，求平行六面体积.

解析：如图，设过A点的三条棱AB，AD，AA₁的长分别是a,b,c,且两面所成角是60°，过A₁作A₁H⊥平面ABCD，H为垂足，连HA，则∠HAB＝30°，由课本题得：

cos∠A₁AB＝cos∠A₁AH·cos∠HAB,

∴cos∠A₁AH＝＝＝,sin∠A₁AH＝

∴V＝S_ABCD·A₁H＝absin60°·c·sin∠A₁AH＝abc.

336.　 在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB＝AC＝10cm,BC＝12cm，顶点A₁与A、B、C的距离等于13cm，求这棱柱的全面积.

解析：如图，作A₁O⊥平面ABC于O，∵A₁A＝A₁B＝A₁C，∴OA＝OB＝OC，∴O是ΔABC的外心，∵ΔABC等腰，∴AO⊥BC于D，∴AA₁⊥BC，∴B₁B⊥BC，四边形B₁BCC₁为矩形，∴S＝12·13＝156(cm²),ΔA₁AB底边上高A₁E＝＝12，＝＝120(cm²),S_ΔABC＝＝·12·8＝48(cm²),S_全＝156+2·120+2×48＝492(cm²)

335.　 长方体的一条对角线与一个顶点上的三条棱所成的角分别为α、β、γ.

求证：cos²α+cos²β+cos²γ＝1

解析：证明三角恒等式，可用从左边推出右边的方法.

证明：设对角线B₁D与长方体的棱AD、DC、D₁D所成的角分别为α、β、γ，连结AB₁、CB₁，D₁B₁，则ΔB₁DA、ΔB₁DC、ΔB₁DD₁都是直角三角形.

∵cosα＝,cosβ＝,cosγ＝

∴cos²α+cos²β+cos²γ＝＝1.

评析：这里运用了长方体对角线长定理.

334. (1)棱柱成为直棱柱的一个必要但不充分的条件是：(　　 )

A.棱柱有一条侧棱与底面垂直

B.棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直

C.棱柱有两个相邻的侧面互相垂直

D.棱柱有一个侧面与底面的一条边垂直

解析： 根据直棱柱定义，A是充分条件，C、D不是必要条件，所以选B.

说明　 解答此题要熟知直棱柱的定义及其充分必要条件的含义.

333. 一根长为a的木梁，它的两端悬挂在两条互相平行的，长度都为b的绳索下，木梁处于水平位置，如果把木梁绕通过它的中点的铅垂轴转动一个角度φ，那么木梁升高多少?

解析： 设M、N为悬挂点，AB为木梁的初始位置，那么AB＝a，MA∥NB，MA＝NB＝b,∠A＝∠B＝90°.

设S为中点，L为过S的铅垂轴，那么L平面MANB，木梁绕L转动角度φ后位于CD位置，T为CD中点，那么木梁上升的高度为异面直线AB与CD之间的距离ST.

在平面MANB中，作TK∥AB，交MA于K，则AK＝ST.

设ST＝x，则x＝b-KM.又KT＝CT＝，∠KTC＝φ，有KC＝asin.

从而KM＝.

∴x＝b-.

332.　 三个平面两两相交得三条交线，若有两条相交，则第三条必过交点；若有两条平行，则第三条必与之平行.

已知：α∩β＝a,α∩＝b, ∩α＝c.

求证：要么a、b、c三线共点，要么a∥b∥c.

证明：①如图一，设a∩b＝A，

∵α∩β＝a.

∴aα而A∈a.

∴A∈α.

又β∩＝b

∴b,而A∈b.

∴A∈.

则A∈α，A∈，那么A在α、的交线c上.

从而a、b、c三线共点.

②如图二，若a∥b，显然c，b

∴　 a∥

而　 aα, α∩＝c.

∴　 a∥c

从而　 a∥b∥c

331.　 设a、b是两条异面直线，在下列命题中正确的是(　　 )

A.有且仅有一条直线与a、b都垂直

B.有一平面与a、b都垂直

C.过直线a有且仅有一平面与b平行

D.过空间中任一点必可作一条直线与a、b都相交

解析： 因为与异面直线a、b的公垂线平行的直线有无数条，所以A不对；若有平面与a、b都垂直，则a∥b不可能，所以B不对.若空间的一点与直线a(或b)确定的平面与另一条直线b(或a)平行，则过点与a相交的直线必在这个平面内，它不可能再与另一条直线相交，所以D不对，故选C.

330.　 在下列命题中，真命题是(　　 )

A.若直线m、n都平行平面α，则m∥n;

B.设α-l-β是直二面角，若直线m⊥l，则m⊥n，m⊥β；

C.若直线m、n在平面α内的射影是一个点和一条直线，且m⊥n，则n在α内或n与α平行；

D.设m、n是异面直线，若m和平面α平行，则n与α相交.

解析：对于直线的平行有传递性，而两直线与平面的平行没有传递性故A不正确；平面与平面垂直可得出线面垂直，要一直线在一平面内且垂直于交线，而B中m不一定在α内，故不正确；对D来说存在平面同时和两异面直线平行，故不正确；应选C.

329.求证：如果两个相交平面分别经过两条平行直线中的一条，那么它们的交线和这条直线平行.

已知：a∥b,aα，bβ，α∩β＝c.

求证：c∥a∥b

328.求证：如果两条平行线中的一条和一个平面相交，那么另一条也和这个平面相交.

已知：a∥b,a∩α＝A，求证：b和α相交.

证明：假设bα或b∥α.

若bα，∵b∥a，∴a∥α.

这与a∩α＝A矛盾，∴bα不成立.

若b∥α，设过a、b的平面与α交于c.

∵b∥α,∴b∥c,又a∥b　 ∴a∥c

∴a∥α这与a∩α＝A矛盾.∴b∥α不成立.

∴b与α相交.