Question

15．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+m与坐标轴y轴交于点A，与x轴交于点B，过A，B两点的抛物线y=x²+nx-8，点D为线段AB上一动点，过点D作CD垂直x轴于点C，交抛物线于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当DE=12时，求四边形CAEB的面积；
（3）是否存在点D，使得△DEB和△DAC相似？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用直线y=x+m与抛物线y=x²+nx-8都经过A点，得出m的值，再利用一次函数解析式得出B点坐标，进而得出n的值；
（2）利用D，E点坐标结合DE的长求出D，E点坐标，进而求出四边形面积；
（3）利用当AC∥BE时，△DEB∽△DCA，当$\frac{CD}{BD}$=$\frac{AD}{DE}$时，△DEB∽△DAC，分别求出符合题意的答案．

解答 解：（1）∵直线y=x+m与抛物线y=x²+nx-8都经过A点，
∴m=-8，
∵直线y=x+m经过x轴上的B点，∴点B（8，0），
又∵抛物线y=x²+nx-8经过B点，
∴n=-7，
∴抛物线为：y=x²-7x-8；

（2）设点C为：（x，0），则点D为（x，x-8），点E为（x，x²-7x-8），
∵DE=12，∴（x-8）-（x²-7x-8）=12，
解得：x₁=2，x₂=6，
当x=2时，x²-7x-8=-18，
∴CE=18，四边形CAEB的面积=$\frac{1}{2}$OB×CE=72，
当x=6时，x²-7x-8=-14，
∴CE=14，四边形CAEB的面积=$\frac{1}{2}$OB×CE=56；

（3）存在，当AC∥BE时，△DEB∽△DCA，
过点A作AF⊥CE于点F，
$\frac{AF}{CF}$=$\frac{BC}{CE}$，
即$\frac{x}{8}$=$\frac{8-x}{0-（{x}^{2}-7x-8）}$，
∴x²+x-8=0，
解得：x₁=$\frac{-1+\sqrt{33}}{2}$，x₂=$\frac{-1-\sqrt{33}}{2}$（舍去），
当$\frac{CD}{BD}$=$\frac{AD}{DE}$时，△DEB∽△DAC，即$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}x}{（x-8）-（{x}^{2}-7x-8）}$，
∴x²-6x=0，
解得：x₁=6，x₂=0（舍去），
综上所述：当x=$\frac{-1+\sqrt{33}}{2}$或x=6时，△DEB和△DAC相似，
则x-8=$\frac{-17+\sqrt{33}}{2}$或-2，
此时点D的坐标为：（$\frac{-1+\sqrt{33}}{2}$，$\frac{-17+\sqrt{33}}{2}$）或（6，-2）．

点评 此题主要考查了二次函数综合以及四边形面积求法和相似三角形的判定与性质等知识，利用分类讨论得出是解题关键．