Question

3．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC的中点，过点A、D分别作BC与AB的平行线，相交于点E，连结EC、AD．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）当∠BAC=90°时，求证：四边形ADCE是正方形．

Answer 1

分析 （1）先由AB=AC，点D是边BC的中点，根据等腰三角形三线合一的性质得出BD=CD，AD⊥BC，再由AE∥BD，DE∥AB，得出四边形AEDB为平行四边形，那么
AE=BD=CD，又AE∥DC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形ADCE是平行四边形，又∠ADC=90°，根据有一个角是直角的平行四边形即可证明四边形ADCE是矩形；
（2）设AC与DE相交于点O．由DE∥AB，根据平行线的性质得出∠DOC=∠BAC=90°，即AC⊥DE，又由（1）知四边形ADCE是矩形，根据对角线互相垂直的矩形是正方形即可证明四边形ADCE是正方形．

解答 证明：（1）∵AB=AC，点D是边BC的中点，
∴BD=CD，AD⊥BC，
∴∠ADC=90°．
∵AE∥BD，DE∥AB，
∴四边形AEDB为平行四边形，
∴AE=BD=CD，
又∵AE∥DC，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵∠ADC=90°，
∴四边形ADCE是矩形；

（2）设AC与DE相交于点O．
∵DE∥AB，∠BAC=90°，
∴∠DOC=∠BAC=90°，
即AC⊥DE，
又∵由（1）知四边形ADCE是矩形，
∴四边形ADCE是正方形．

点评 本题考查了正方形的判定，矩形的判定，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质．熟练掌握定理与性质是解题的关键．