Question

【题目】如图在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象经过，两点，且与轴的负半轴交于点，动点在直线下方的二次函数图象上．

（1）求二次函数的表达式；

（2）如图1，连接，，设的面积为，求的最大值；

（3）如图2，过点作于点，是否存在点，使得中的某个角恰好等于的2倍？若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】1）；（2）S最大值为4；（3）存在，点D的横坐标为2或

【解析】

（1）根据题意得到B、C两点的坐标，设抛物线的解析式为，将点C的坐标代入求得m的值即可；

（2）过点D作DF⊥x轴，交BC与点F，设，则，然后列出S与x的关系式，最后利用配方法求得其最大值即可；

（3）根据勾股定理的逆定理得到△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB的中点E，EA=EC=EB=，过D作Y轴的垂线，垂足为R，交AC的延线于G，设，则DR=x，，最后，分为∠DCM=2∠BAC和∠MDC=2∠BAC两种情况列方程求解即可．

：（1）把x=0代入得y=-2，

∴C（0，-2）．

把y=0代得x=4，

∴B（4，0），

设抛物线的解析式为，将C（0，-2）代入得：2m=-2，解得：m=-1，∴A（-1，0）．

∴抛物线的解析式，即；

（2）如图所示：过点D作DF⊥x轴，交BC与点F．

设，则，，

∴，

∴当x=2时，S有最大值，最大值为4．

（3）如图所示：过点D作DR⊥y垂足为R，DR交BC与点G．

∵A（-1，0），B（4，0），C（0，-2），
∴，AB=5，

∴AC2+BC2=AB2，

∴△ABC为直角三角形．

取AB的中点E，连接CE，则CE=BE，

∴∠OEC=2∠ABC．

∴，

当∠MCD=2∠ABC时，则tan∠CDR=tan∠ABC= ，

设，则DR=x，，

∴，解得：x=0（舍去）或x=2．
∴点D的横坐标为2．

当∠CDM=2∠ABC时，设MD=3k，CM=4k，CD=5k．

∵tan∠MGD= ，

∴GM=6k，，

∴GC=MG-CM=2k，

∴，

∴ ，

∴，整理得：，

解得：x=0（舍去）或x=．

∴点D的横坐标为，

综上所述，当点D的横坐标为2或.