Question

△ABC的三边满足a⁴+b²c²-a²c²-b⁴=0，请判别△ABC的形状．

Answer 1

分析：将已知等式左边第一、四项结合，二、三项结合，分别利用平方差公式及提取公因式法分解因式，再提取公因式及平方差公式化为积的形式，根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为关系式，利用等腰三角形的判定及勾股定理的逆定理，即可得出三角形ABC为等腰三角形或直角三角形．

解答：解：a⁴+b²c²-a²c²-b⁴
=（a⁴-b⁴）+（b²c²-a²c²）
=（a²+b²）（a²-b²）-c²（a²-b²）
=（a²-b²）（a²+b²-c²）
=（a+b）（a-b）（a²+b²-c²）=0，
∵a+b＞0，
∴a-b=0或a²+b²-c²=0，
即a=b或a²+b²=c²，
则△ABC为等腰三角形或直角三角形．

点评：此题考查了因式分解的应用，等腰三角形的判定，以及勾股定理的逆定理，其中利用的分解因式方法有：平方差公式，分组分解法，提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．