Question

如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，且．△AMN为等腰直角三角形，斜边AN与CD交于点F，延长AN与BC的延长线交于点E，连接MF、CN，作NG⊥BE，垂足为G，下列结论：①△ABM≌△MGN；②△CNG为等腰直角三角形；③MN=EN；④S_△ABM=S_△CEN；⑤BM+DF=MF．其中正确的个数为

1. A.
   2个
2. B.
   3个
3. C.
   4个
4. D.
   5个

Answer 1

C
分析：①利用等腰直角三角形的性质，互余关系可证△ABM≌△MGN；②由①的结论推出NG=CG即可；③由已知BM=BC，设AB=BC=3x，则MG=MC+CG=BC=3x，CG=NG=x，由NG∥AB得△EGN∽△EBA，利用相似比证明MG≠EG即可；④分别求两个三角形的底和高，再比较面积；⑤利用旋转法将△AMB绕A点逆时针旋转90°到△AHD的位置，证明△AHF≌△AMF即可．
解答：①∵△AMN为等腰三角形，∴AM=MN，∠AMN=90°，
∴∠AMB=90°-∠NMG=∠MNG，又∠B=∠NGM=90°，
∴△ABM≌△MGN，正确；
②由△ABM≌△MGN，得NG=BM，而CG=MG-MC=AB-MC=BC-MC=BM，∴NG=CG，
又∠CNG=90°，∴△CNG为等腰直角三角形，正确；
③设AB=BC=3x，则MG=MC+CG=BC=3x，CG=NG=x，
由NG∥AB得△EGN∽△EBA，
∴==，EG=BG=2x，MG≠EG，故MN≠EN，错误；
④由③可知AB=CE=3x，又BM=NG，
∴S_△ABM=S_△CEN，正确；
⑤如图，延长CD到H，使DH=BM，可证△ABM≌△ADH，
∴AM=AH，∠BAM=∠DAH，
∠HAF=∠DAH+∠DAF=∠BAM+∠DAF=90°-∠MAF=90°-45°=45°，
又AF=AF，
∴△AHF≌△AMF，
∴HF=MF，即BM+DF=MF，正确．
正确的有四个．
故选C．
点评：本题考查了三角形全等，三角形相似的判定与性质，特殊三角形的判定，正方形的性质．关键是明确线段之间的关系．