Question

14．两个城镇A、B与两条公路ME，MF位置如图所示，其中ME是东西方向的公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部
（1）那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）
（2）设AB的垂直平分线交ME于点N，且MN=2（$\sqrt{3}$+1）km，测得∠CMN=30°，∠CNM=45°，求点C到公路ME的距离．

Answer 1

分析 （1）运用尺规作图即可得出结果；
（2）作CD⊥MN于点D．由三角函数得出MD=$\sqrt{3}$CD，DN=$\frac{CD}{tan45°}$=CD，由已知条件得出$\sqrt{3}$CD+CD=2（$\sqrt{3}$+1），解得CD=2km即可．

解答 解：（1）答图如图1所示：
点C即为所求；
（2）作CD⊥MN于点D．如图2所示：
∵在Rt△CMD中，∠CMN=30°，
∴$\frac{CD}{MD}$=tan∠CMN，
∴MD=$\frac{CD}{tan30°}$=$\frac{CD}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\sqrt{3}$CD，
∵在Rt△CND中，∠CNM=45°，$\frac{CD}{DN}$=tan∠CNM，
∴DN=$\frac{CD}{tan45°}$=CD，∵MN=2（$\sqrt{3}$+1）km，
∴MN=MD+DN=$\sqrt{3}$CD+CD=2（$\sqrt{3}$+1）km．
解得：CD=2km．
答：点C到公路ME的距离为2km．

点评 本题考查了解直角三角形的应用、作图-设计；熟练掌握基本作图和解直角三角形是解决问题的关键．