Question

9．如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=-$\frac{3}{x}$的图象交于A（-1，m）、B（3，n）两点，与x轴交于D点，且C、D两点关于y轴对称．
（1）求A、B两点的坐标以及一次函数的函数关系式；
（2）求△ABC的面积．
（3）在x轴上是否存在点P，使得|PA-PB|的值最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由A（-1，m）、B（3，n）两点在反比例函数y=-$\frac{3}{x}$的图象上，求得m=3，n=-1得到A（-1，3），B（3，-1），把A（-1，3），B（3，-1）代入y=ax+b得$\left\{\begin{array}{l}{3=-k+b}\\{-1=3k+b}\end{array}\right.$，求得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，即可得到结论；
（2）在y=-x+2中，令y=0，得x=2，求得D（2，0），由于C、D两点关于y轴对称，得到C（-2，0），即可求出S_△ABC=S_△ACD+S_△BCD=$\frac{1}{2}$×4×3+$\frac{1}{2}×4×1$=8；
（3）存在，作B点关于x轴对称点B′，连接AB′，直线AB′与x轴交点即为P点，此时|PA-PB|最大，直线AB′与x轴的交点即为所求．

解答 解：（1）∵A（-1，m）、B（3，n）两点在反比例函数y=-$\frac{3}{x}$的图象上，
∴m=3，n=-1，
∴A（-1，3），B（3，-1），
把A（-1，3），B（3，-1）代入y=ax+b得$\left\{\begin{array}{l}{3=-a+b}\\{-1=3a+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴一次函数的函数关系式为：y=-x+2；

（2）在y=-x+2中，令y=0，得x=2，
∴D（2，0），
∵C、D两点关于y轴对称，
∴C（-2，0），
∴S_△ABC=S_△ACD+S_△BCD=$\frac{1}{2}$×4×3+$\frac{1}{2}×4×1$=8；

（3）存在，作B点关于x轴对称点B′，连接AB′，直线AB′与x轴交点即为P点，此时|PA-PB|最大，
∵B（3，-1），∴B′（3，1），
设直线AB′的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3=-k+b}\\{1=3k+b}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$
∴直线AB′的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{5}{2}$，
当y=0时，x=5，
∴P（5，0）．

点评 本题考查了利用函数的解析式求点的坐标，待定系数法求函数的解析式，求三角形的面积，最值问题，正确的作出辅助线是解题的关键．