Question

如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边CD、AD上，且CE=DF，AE、BF相交于点O，下列结论：①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S_△AOB=S_{四边形DEOF}．其中正确的是

1. A.
   、①②
2. B.
   ①②③
3. C.
   ①②④
4. D.
   ①②③④

Answer 1

C
分析：根据正方形的性质由条件CE=DF，可以求出AF=DE，从而证明△BAF≌△ADE，就可以得出AE=BF，S_△BAF=S_△ADE，∠ABF=∠DAE，再根据等式的性质就可以求出S_△AOB=S_{四边形DEOF}．就可以求出∠AOF=90°．连接EF，在Rt△EFD中可以求出EF＞DF，就有EF＞AF，若AO=OE就有AF=EF，从而得出结论，
解答：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=CD=BC，∠BAD=∠ADC=90°．
∵CE=DF，
∴AD-DF=CD-CE，
即AF=DE．
在△BAF和△ADE中，
∵，
∴△BAF≌△ADE（SAS），
∴AE=BF，S_△BAF=S_△ADE，∠ABF=∠DAE，
∴S_△BAF-S_△AOF=S_△ADE-S_△AOF，
即S_△AOB=S_{四边形DEOF}．
∵∠ABF+∠AFB=90°，
∴∠EAF+∠AFB=90°，
∴∠AOF=90°，
∴AE⊥BF；
连接EF，在Rt△DFE中，∠D=90°，
∴EF＞DE，
∴EF＞AF，
若AO=OE，且AE⊥BF；
∴AF=EF，与EF＞AF矛盾，
∴假设不成立，
∴AO≠OE．
∴①②④是正确的，
故选C．
点评：本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，三角形的面积关系的运用及直角三角形的性质的运用，在解答中求证三角形全等是关键．