Question

15．如图，已知直线PT与⊙O相切于点T，直线PO与⊙O相交于A，B两点．
（1）求证：PT²=PA•PB；
（2）若PT=TB=$\sqrt{3}$，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）连接OT，只要证明△PTA∽△PBT，可得$\frac{PT}{PB}$=$\frac{PA}{PT}$，由此即可解决问题；
（2）首先证明△AOT是等边三角形，根据S_阴=S_扇形OAT-S_△AOT计算即可；

解答 （1）证明：连接OT．

∵PT是⊙O的切线，
∴PT⊥OT，
∴∠PTO=90°，
∴∠PTA+∠OTA=90°，
∵AB是直径，
∴∠ATB=90°，
∴∠TAB+∠B=90°，
∵OT=OA，
∴∠OAT=∠OTA，
∴∠PTA=∠B，∵∠P=∠P，
∴△PTA∽△PBT，
∴$\frac{PT}{PB}$=$\frac{PA}{PT}$，
∴PT²=PA•PB．

（2）∵TP=TB=$\sqrt{3}$，
∴∠P=∠B=∠PTA，
∵∠TAB=∠P+∠PTA，
∴∠TAB=2∠B，
∵∠TAB+∠B=90°，
∴∠TAB=60°，∠B=30°，
∴tanB=$\frac{AT}{TB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴AT=1，
∵OA=OT，∠TAO=60°，
∴△AOT是等边三角形，
∴S_阴=S_扇形OAT-S_△AOT=$\frac{60π•{1}^{2}}{360}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$•1²=$\frac{π}{6}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、切线的性质、扇形的面积等计算等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，第二个问题的关键是证明△AOT的等边三角形．