Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知抛物线L：经过点A（-3，0）和点B（0，-6），L关于原点O对称的抛物线为.

（1）求抛物线L的表达式；

（2）点P在抛物线上，且位于第一象限，过点P作PD⊥y轴，垂足为D.若△POD与△AOB相似，求符合条件的点P的坐标.

Answer 1

【答案】(1) y=－x2－5x－6；(2)符合条件的点P的坐标为(1，2)或(6，12)或(，)或(4，2)。

【解析】

(1)利用待定系数法进行求解即可得；

(2)由关于原点对称的点的坐标特征可知点A(-3，0)、B(0，-6)在L′上的对应点分别为A′(3，0)、B′(0，6)，利用待定系数法求得抛物线L′的表达式为y＝x2－5x＋6，设P(m，m2－5m＋6)(m＞0)，根据PD⊥y轴，可得点D的坐标为(0，m2－5m＋6)，可得PD＝m，OD＝m2－5m＋6，再由Rt△POD与Rt△AOB相似，分Rt△PDO∽Rt△AOB或Rt△ODP∽Rt△AOB两种情况，根据相似三角形的性质分别进行求解即可得.

(1)由题意，得，

解得：，

∴L：y=－x2－5x－6；

(2)∵抛物线L关于原点O对称的抛物线为，

∴点A(-3，0)、B(0，-6)在L′上的对应点分别为A′(3，0)、B′(0，6)，

∴设抛物线L′的表达式y＝x2＋bx＋6，

将A′(3，0)代入y＝x2＋bx＋6，得b＝－5，

∴抛物线L′的表达式为y＝x2－5x＋6，

∵A(－3，0)，B(0，－6)，

∴AO＝3，OB＝6，

设P(m，m2－5m＋6)(m＞0)，

∵PD⊥y轴，

∴点D的坐标为(0，m2－5m＋6)，

∵PD＝m，OD＝m2－5m＋6，

∵Rt△PDO与Rt△AOB相似，

∴有Rt△PDO∽Rt△AOB或Rt△ODP∽Rt△AOB两种情况，

①当Rt△PDO∽Rt△AOB时，则，即，

解得m1＝1，m2＝6，

∴P1(1，2)，P2(6，12)；

②当Rt△ODP∽Rt△AOB时，则，即，

解得m3＝，m4＝4，

∴P3(，)，P4(4，2)，

∵P1、P2、P3、P4均在第一象限，

∴符合条件的点P的坐标为(1，2)或(6，12)或(，)或(4，2).