Question

14．如图，在△ABC中，AB=BC=AC=12cm，点D为AB上的点，且BD=$\frac{2}{3}$AB，如果点P在线段BC上以4cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
（2）若点Q的运动速度为6cm/s，当点Q运动几秒后，可得到等边三角形CQP？

Answer 1

分析 （1）求出BD=CP，∠B=∠C，BP=CQ，根据全等三角形的判定推出即可；
（2）根据等边得出CQ=CP，得出关于x的方程，求出x即可．

解答 解：（1）△BPD与△CQP全等，
理由是：∵在△ABC中，AB=BC=AC=12cm，点D为AB上的点，且BD=$\frac{2}{3}$AB，
∴∠B=∠C，BD=8cm，
∵BP=CQ=4cm，
∴CP=12cm-4cm=8cm，
∴BD=CP，
在△BPD和△CQP中，
$\left\{\begin{array}{l}{BP=CQ}\\{∠B=∠C}\\{BD=CP}\end{array}\right.$，
∴△BPD≌△CQP（SAS）；

（2）设当点Q运动x秒后，可得到等边三角形CQP，
则CP=CQ，
即6x=12-4x，
解得：x=$\frac{6}{5}$．
即若点Q的运动速度为6cm/s，当点Q运动$\frac{6}{5}$秒后，可得到等边三角形CQP．

点评 本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，能熟记性质是解此题的关键．