Question

9．已知在平面直角坐标系中，抛物线y=-$\frac{1}{2}{x^2}$+bx+c与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，直线y=x+4经过A，C两点，
（1）求抛物线的表达式；
（2）如果点P，Q在抛物线上（P点在对称轴左边），且PQ∥AO，PQ=2AO，求P，Q的坐标；
（3）动点M在直线y=x+4上，且△ABC与△COM相似，求点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据自变量与函数值的对应关系，可得A、C点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据平行于x轴的直线与抛物线的交点关于对称轴对称，可得P、Q关于直线x=-1对称，根据PQ的长，可得P点的横坐标，Q点的横坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；
（3）根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得CM的长，根据等腰直角三角形的性质，可得MH的长，再根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．

解答 解：（1）当x=0时，y=4，即C（0，4），
当y=0时，x+4=0，解得x=-4，即A（-4，0），
将A、C点坐标代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}×（-4）^{2}-4b+4=0}\\{c=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{c=4}\end{array}\right.$，
抛物线的表达式为y=-$\frac{1}{2}{x^2}$-x+4；
（2）PQ=2AO=8，
又PQ∥AO，即P、Q关于对称轴x=-1对称，
PQ=8，-1-4=-5，
当x=-5时，y=-$\frac{1}{2}$×（-5）²-（-5）+4=-$\frac{7}{2}$，即P（-5，-$\frac{7}{2}$）；
-1+4=3，即Q（3，-$\frac{7}{2}$）；
P点坐标（-5，-$\frac{7}{2}$），Q点坐标（3，-$\frac{7}{2}$）；
（3）∠MCO=∠CAB=45°，
①当△MCO∽△CAB时，$\frac{OC}{BA}$=$\frac{CM}{AC}$，即$\frac{4}{6}$=$\frac{CM}{4\sqrt{2}}$，
CM=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$．
如图1，
过M作MH⊥y轴于H，MH=CH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CM=$\frac{8}{3}$，
当x=-$\frac{8}{3}$时，y=-$\frac{8}{3}$+4=$\frac{4}{3}$，
∴M（-$\frac{8}{3}$，$\frac{4}{3}$）；
当△OCM∽△CAB时，$\frac{OC}{CA}$=$\frac{CM}{AB}$，即$\frac{4}{4\sqrt{2}}$=$\frac{CM}{6}$，解得CM=3$\sqrt{2}$，
如图2，
过M作MH⊥y轴于H，MH=CH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CM=3，
当x=-3时，y=-3+4=1，
∴M（-3，1），
综上所述：M点的坐标为（-$\frac{8}{3}$，$\frac{4}{3}$），（-3，1）．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用平行于x轴的直线与抛物线的交点关于对称轴对称得出P、Q关于直线x=-1对称是解题关键；利用两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形得出CM的长是解题关键．