Question

12．在Rt△ABC中，∠C=90°，P是BC边上不同于B、C的一动点，过P作PQ⊥AB，垂足为Q，连接AP．
（1）试说明不论点P在BC边上何处时，都有△PBQ与△ABC相似；
（2）若AC=3，BC=4，设BP长为x，请用含x的代数式表示PQ=$\frac{3}{5}$x；BQ=$\frac{4}{5}$x；当BP为何值时，△AQP面积最大，并求出最大值；
（3）在Rt△ABC中，两条直角边BC、AC满足关系式BC=kAC，是否存在一个k的值，使Rt△AQP既与Rt△ACP全等，也与Rt△BQP全等，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据相似三角形的判定定理证明即可；
（2）利用勾股定理求出AB，根据相似三角形的性质列出比例式求出PQ、BQ，根据三角形的面积公式求出△AQP面积，根据二次函数的性质解答即可；
（3）根据全等三角形的对应边相等和勾股定理计算即可．

解答 解：（1）不论点P在BC边上何处时，都有
∠PQB=∠C=90°，∠B=∠B，
∴△PBQ∽△ABC；
（2）∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
∵△PBQ与△ABC，
∴$\frac{PQ}{AC}$=$\frac{BQ}{BC}$=$\frac{PB}{AB}$，即$\frac{PQ}{3}$=$\frac{BQ}{4}$=$\frac{x}{5}$，
∴PQ=$\frac{3}{5}$x，BQ=$\frac{4}{5}$x；
S_△APQ=$\frac{1}{2}$×PQ×AQ=$\frac{1}{2}$×（5-$\frac{4}{5}$x）×$\frac{3}{5}$x
=-$\frac{6}{25}$x²+$\frac{3}{2}$x
=-（x-$\frac{25}{8}$）²+$\frac{75}{32}$，
则当BP=$\frac{25}{8}$时，△AQP面积最大，最大值为$\frac{75}{32}$；
（3）存在．
∵Rt△AQP≌Rt△ACP，
∴AQ=AC，
又Rt△AQP≌Rt△BQP，
∴AQ=QB，
∴AQ=QB=AC，
在Rt△ABC中，由勾股定理得 BC²=AB²-AC²
即BC²=（2AC）²-AC²，
则BC²=3AC²，
∴BC=$\sqrt{3}$AC，
∴k=$\sqrt{3}$时，Rt△AQP既与Rt△ACP全等，也与Rt△BQP全等．

点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的性质以及二次函数的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、灵活运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式、掌握二次函数的性质是解题的关键．