Question

在平面直角坐标系中，抛物线经过O（0，0）、A（4，0）、B（3，）三点。
（1）求此抛物线的解析式；
（2）以OA的中点M为圆心，OM长为半径作⊙M，在（1）中的抛物线上是否存在这样的点P，过点P作⊙M的切线l ，且l与x轴的夹角为30°，若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由。（注意：本题中的结果可保留根号）

Answer 1

解：（1）设抛物线的解析式为：， 由题意得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：；
（2）存在， 抛物线的顶点坐标是， 作抛物线和⊙M（如图）， 设满足条件的切线l与x轴交于点B，与⊙M相切于点C 连接MC， 过C作CD⊥x 轴于D， ∵MC=OM=2，∠CBM=30°，CM⊥BC， ∴∠BCM=90°，∠BMC=60°，BM=2CM=4， ∴B（-2，0） 在Rt△CDM中，∠DCM=∠CDM-∠CMD=30°， ∴DM=1，CD= ∴ C（1，） 设切线l的解析式为：， 点B、C在l上，可得： 解得： ∴切线BC的解析式为： ∵点P为抛物线与切线的交点 由解得：， ∴点P的坐标为：， ∵ 抛物线的对称轴是直线x=2， 此抛物线、⊙M都与直线x=2成轴对称图形， 于是作切线l关于直线x=2的对称直线l′（如图）得到B、C关于直线的对称点B1、C1， l′满足题中要求，由对称性，得到P1、P2关于直线x=2的对称点：，即为所求的点， ∴这样的点P共有4个：，，，。