Question

3．△ABC为等边三角形，点M是射线BC上任意一点，点N是射线CA上任意一点，且BM=CN，直线AM与BN相交于Q点，∠AQN的度数为60°或120°．

Answer 1

分析 ①先根据已知利用SAS判定△ABM≌△BCN，再根据全等三角形的性质求得∠AQN=∠ABC=60°，②根据三角形全等得出∠M=∠N，根据求出∠M+∠CAM=∠ACB=60°，推出∠N+∠NAQ=60°，即可得出答案．

解答 解：①如图1，点M在线段BC上，
∵△ABC为正三角形，
∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°，AB=BC，
在△AMB和△BNC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABC=∠C}\\{BM=CN}\end{array}\right.$，
△AMB≌△BNC（SAS），
∵∠ANB=∠C+∠NBC=60°+∠NBC，
∠MAN=∠BAC-∠MAB=60°-∠MAB，
又∵∠NBC=∠MAB（全等三角形对应角相等），
∴∠ANB+∠MAN=120°，
又∵∠ANQ+∠MAN+∠AQN=180°，
∴∠AQN=180°-∠ANB-∠MAN，
∠AQN=180°-（∠ANB+∠MAN），
=180°-120°=60°，
②如图2，点M在BC的延长线上，
∵△BCN≌△ABM，
∴∠M=∠N，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠M+∠CAM=∠ACB=60°，
∵∠M=∠N，∠CAM=∠NAQ，
∴∠N+∠NAQ=60°，
∴∠BQM=∠N+∠NAQ=60°，
∴∠AQN=120°．
综上所述：∠AQN的度数为60°或120°．
故答案为：60°或120°．

点评 本题考查了等边三角形性质，全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．