Question

13．如图，已知△ABC中，AD⊥BC于点D，BF=AC，DF=DC．
（1）求证：BE⊥AC；
（2）如果∠C=60°，CD=2，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）根据垂直的定义得到∠BDF=∠ADC=90°，推出Rt△BDF≌Rt△ACD，根据全等三角形的性质得到∠1=∠3，由于∠2=∠4，即可得到结论；
（2）解直角三角形得到AD=2$\sqrt{3}$，根据全等三角形的性质得到BD=AD，由等腰直角三角形的性质即可得到结论．

解答 证明：（1）∵AD⊥BC，
∴∠BDF=∠ADC=90°，
在Rt△BDF与Rt△ACD中，$\left\{\begin{array}{l}{BF=AC}\\{DF=DC}\end{array}\right.$，
∴Rt△BDF≌Rt△ACD，
∴∠1=∠3，
∠2=∠4（对顶角相等）
又∵在Rt△BDF中，∠1+∠3=90°，
∴∠2+∠4=90°，
即BE⊥AC；

（2）∵∠C=60°，CD=2，
∴AD=2$\sqrt{3}$，
∵Rt△BDF≌Rt△ACD，
∴BD=AD，
∴AB=$\sqrt{2}$AD=2$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，垂直的定义，证得Rt△BDF≌Rt△ACD是解题的关键．