Question

如图，正方形ABCD的边长为4，P是边BC上一点，QP⊥AP交DC于Q，问当点P在何位置时，△ADQ的面积最小并求出这个最小面积．

Answer 1

分析：设出一个变量，根据相似三角形的性质和三角形的面积公式，把最小面积问题转化为二次函数的最小值问题解答．

解答：解：设BP=x，
∵∠BAP+∠BPA=90°，∠BPA+∠CPQ=90°，
∴∠BAP=∠CPQ，又∠B=∠C=90°，
∴△ABP∽△PCQ，
∴

AB

PC

=

BP

CQ

，
∴CQ=

BP•PC

AB

=

x(4-x)

4

=-

1

4

x²+x，
∴DQ=

1

4

x²-x+4
∴S_△ADQ=

1

2

AD•DQ=

1

2

×4（

1

4

x²-x+4）
=

1

2

x²-2x+8，
∴当x=-

-2

2× 1 2

=2时，S_△ADQ=6．即当点P在BC中点时，△ADQ有最小值6．

点评：解答此题的关键是将面积问题转化为二次函数的最小值问题，体现了数形结合思想和转化思想在解题中的应用．