Question

5．如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，延长BC到点F，连接AF，使∠ABC=2∠CAF．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）若AC=4，CE：EB=1：3，求CE的长．

Answer 1

分析 （1）连接BD，由圆周角定理得出∠ADB=90°，由等腰三角形的性质得出∠ABC=2∠ABD，得出∠ABD=∠CAF，证出∠CAF+∠CAB=90°，BA⊥FA，即可得出结论；
（2）连接AE，由圆周角定理得出∠AEB=90°，设CE长为x，则EB长为3x，AB=BC=4x．由勾股定理可得AE=$\sqrt{7}x$，在Rt△AEC中，由勾股定理得出方程，解方程即可．

解答 （1）证明：连接BD，如图1所示：                       
∵AB是⊙O的直径
∴∠ADB=90°，
∵BA=BC，
∴BD平分∠ABC，即∠ABC=2∠ABD
∵∠ABC=2∠CAF，
∴∠ABD=∠CAF，
∵∠ABD+∠CAB=90°，
∴∠CAF+∠CAB=90°，即BA⊥FA，
∴AF是⊙O的切线；                       
（2）解：连接AE，如图2所示：
∵AB是⊙O的直径
∴∠AEB=90°，即△AEB为直角三角形，
∵CE：EB=1：3，
设CE长为x，则EB长为3x，BC长为4x．
则AB长为4x，
在Rt△AEB中由勾股定理可得 AE=$\sqrt{7}x$，
在Rt△AEC中，AC=4，AE=$\sqrt{7}x$，CE=x，
由勾股定理得：${4^2}={（\sqrt{7}x）^2}+{x^2}$，
解得：$x=±\sqrt{2}$，
∵x＞0
∴$x=\sqrt{2}$，即CE长为$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了切线的判定、勾股定理、圆周角定理、等腰三角形的性质；熟练掌握切线的判定方法，运用勾股定理得出方程是解决问题（2）的关键．