Question

19．已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，分别以AB，AC为边在△ABC外侧作等边三角形ABE与等边三角形ACD．
（1）如图①，求∠BAD的大小；
（2）如图②，连接DE交AB于点F．求证：EF=DF．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得到∠CAD=60°，由∠BAC=30°，根据角的和差关系，于是得到结论；
（2）作EG∥AD，交AB于点G，由等边三角形的∠DAC=60°，加上已知的∠CAB=30°得到∠FAD=90°，然后根据两直线平行内错角相等得到∠EGF=90°，再根据∠ACB=90°，∠CAB=30°，利用三角形的内角和定理得到∠ABC=60°，由等边三角形的性质也得到∠EBG=60°，从而得到两角相等，再由EB=AB，利用“AAS”证得△EGB≌△ACB，根据全等三角形的对应边相等得到EG=AC，再由△ADC为等边三角形得到AD=AC，等量代换可得EG=AD，加上一对对顶角的相等和一对直角的相等，根据“AAS”证得△EGF≌△DAF，最后根据全等三角形的对应边相等即可得证．

解答 （1）解：∵△ACD是等边三角形，
∴∠CAD=60°，
∵∠BAC=30°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°；

（2）证明：如图②，作EG∥AD，交AB于点G，
由∠DAC=60°，∠CAB=30°得：∠FAD=∠DAC+∠CAB=90°，
∴∠EGF=∠FAD=90°，
又∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，
∴∠ABC=60°，
又∵△ABE为等边三角形，∠EBG=60°，EB=AB，
∴∠EBG=∠ABC=60°，
在△EGB和△ACB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EGB=∠ACB}\\{∠EBG=∠ABC}\\{EB=AB}\end{array}\right.$，
∴△EGB≌△ACB（AAS），
∴EG=AC，
又∵△ADC为等边三角形，
∴AD=AC，
∴EG=AD，
在△EGF和△DAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EGF=∠DAF}\\{∠EFG=∠DFA}\\{EG=DA}\end{array}\right.$，
∴△EGF≌△DAF（AAS），
∴EF=DF，即F为DE中点．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，以及等边三角形的性质，其中全等三角形的判定方法为：SSS；SAS；ASA；AAS；HL（直角三角形判定全等的方法），常常利用三角形的全等来解决线段或角相等的问题，在证明三角形全等时，要注意公共角及公共边，对顶角相等等隐含条件的运用．第二问作出辅助线构造全等三角形是本问的突破点．