Question

如图所示，在梯形ABCD中，已知AB∥CD， AD⊥DB，AD=DC=CB，AB=4．以AB所在直线为轴，过D且垂直于AB的直线为轴建立平面直角坐标系．

（1）求∠DAB的度数及A、D、C三点的坐标；

（2）求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴L．

（3）若P是抛物线的对称轴L上的点，那么使PDB为等腰三角形的点P有几个?（不必求点P的坐标，只需说明理由）

Answer 1

解：（1） DC∥AB，AD=DC=CB，  ∠CDB=∠CBD=∠DBA，

     ∠DAB=∠CBA， ∠DAB=2∠DBA，

∠DAB+∠DBA=90， ∠DAB=60，

  ∠DBA=30，AB=4， DC=AD=2， 

RtAOD，OA=1，OD=，

A（-1，0），D（0， ），C（2， ）．  4分

（2）根据抛物线和等腰梯形的对称性知，满足条件的抛物线必过点A（－1，0），B（3，0），

故可设所求为  =（+1）（ -3）

将点D（0， ）的坐标代入上式得， =．

所求抛物线的解析式为  =   

其对称轴L为直线=1．

（3） PDB为等腰三角形，有以下三种情况：

①因直线L与DB不平行，DB的垂直平分线与L仅有一个交点P₁，P₁D=P₁B，

P₁DB为等腰三角形； 

②因为以D为圆心，DB为半径的圆与直线L有两个交点P₂、P₃，DB=DP₂，DB=DP₃， P₂DB， P₃DB为等腰三角形；

③与②同理，L上也有两个点P₄、P₅，使得 BD=BP₄，BD=BP₅． 

由于以上各点互不重合，所以在直线L上，使PDB为等腰三角形的点P有5个．