Question

【题目】如图，抛物线 与 轴交于和，与 轴交于 点，点关于抛物线的对称轴的对称点为点．

（1）求此抛物线的解析式和对称轴．

（2）如图 2，当点在抛物线的对称轴上运动时，在直线上是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）如图 3，当点、、三点共圆时，请求出该圆圆心的坐标．

Answer 1

【答案】（1），x=1；（2）存在，点 F 的坐标为或或；（3）

【解析】

（1）把点 和代入 中求出解析式，再求出对称轴即可；

（2）分分三种情况讨论，作出示意图，求出点F的坐标即可；

（3）分别作 的垂直平分线，它们的交点为 点，点就是点 、、 三点共圆的圆心，先表示出EF和FM，再根据求出即可.

解：（1）把点 和代入 ，得

解得：，

∴抛物线的解析式为：，

∴对称轴；

（2）存在，分三种情况讨论，

①如图 1 所示，

∵四边形为平行四边形，

∴可由平移得到，点的对应点为点，点的对应点为点 ，

∵，点 的横坐标为 1，

∴向右平移了一个单位，

∵，

∴点的横坐标为 0，

设直线 的函数解析式为： ，

把点和 代入，得，

解得：，

∴直线 的函数解析式为：，

∴当 时， ，

∴；

②如图 2 所示，

此时点 与点 重合，

；

③如图 3 所示，

根据平移的规律，得知点 的横坐标为﹣2，

当 时，，

；

综上所述：点 F 的坐标为或或；

（3）如图，分别作 的垂直平分线，它们的交点为 点，点就是点 、、 三点共圆的圆心，

∵点是 的中点，

,

设直线 的解析式为： ，

把 代入上式，得，

，

当 时，，解得：，

，

当时，，

，

如图，易证得：，

，

，

，

，

当时，,，

∴点 、、三点共线的圆的圆心坐标为.