Question

【题目】（1）问题发现：如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，点D、F分别在边AB、AC上，请直接写出线段BD、CF的数量和位置关系；

（2）拓展探究：如图2，当正方形ADEF绕点A逆时针旋转锐角θ时，上述结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）BD＝CF，BD⊥CF，理由见解析；（2）成立，理由见解析.

【解析】

（1）根据等腰直角三角形的性质和正方形的性质解答即可；

（2）△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，易证得△BAD≌△CAF，根据全等三角形的对边相等，即可证得BD＝CF，进而证明BD⊥CF

（1）BD＝CF，BD⊥CF，理由如下：

∵△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，

∴AB＝AC，AD＝AF，∠BAC＝∠DAF＝90°，

∴BD＝CF，BD⊥CF；

（2）成立，理由如下：

∵△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，

∴AB＝AC，AD＝AF，∠BAC＝∠DAF＝90°，

∵∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC，∠CAF＝∠DAF﹣∠DAC，

∴∠BAD＝∠CAF，

在△BAD与△CAF中，

，

∴△BAD≌△CAF（SAS），

∴BD＝CF，

延长BD，分别交直线AC、CF于点M，G，如图，

∵△BAD≌△CAF，

∴∠ABM＝∠GCM，

∵∠BMA＝∠CMG，

∴∠BGC＝∠BAC＝90°，

∴BD⊥CF．