练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    17．【探究问题】正△ABC的边长为8cm，AD是它的高线．
    （1）如图（1），点P、Q分别是正△ABC的边AB和高AD上的两个动点，求BQ+QP的最小值；
    （2）如图（2），点M是正△ABC高AD上的一动点，当AM为何值时，$\frac{1}{2}$AM+MC最小？并求出这个最小值；
    【解决问题】如图（3），A、B两地相距100km，AC是一条沿东西方向向两边延伸的一条铁路．点B到AC的最短距离为60km．今计划在铁路线AC上修一个中转站M，再在BM间修一条笔直的公路到B地．如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍．那么，为使通过铁路由A到M再通过公路由M到B的总运费达到最小值，请求出AM的长．（结果保留根号）

    分析 （1）根据题意作BR⊥AC，交AD于点Q，AC与点R，找出R关于AD的对称点P，则BQ+QP的值最小；
    （2）根据题意得出C，M，N在一条直线上时，此时$\frac{1}{2}$AM+MC最小，进而求得即可；
    （3）作BD⊥AC，垂足为点D，在AC异于点B的M，设出CM的长，然后表示出AM和利用勾股定理表示出BD的长，再表示出总费用，求出其最小值即可得出答案．

    解答 解：（1）如图1，

    作BR⊥AC，交AD于点Q，AC与点R，作R关于AD的对称点P，
    ∵P、R关于AD的对称，
    ∴PQ=QR，
    ∴BQ+QP=BQ+QR=BR=8•sin60°=8×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$，
    即BQ+QP的最小值为4$\sqrt{3}$；

    （2）如图2，

    作CN⊥AB，垂足为点N，交AD于点M，此时$\frac{1}{2}$AM+MC最小，最小为CN的长．
    ∵△ABC是边长为2的正△ABC，
    ∴CN=BC•sin60°=8×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$，
    ∴MN+CM=$\frac{1}{2}$AM+MC=4$\sqrt{3}$，
    即$\frac{1}{2}$AM+MC的最小值为4$\sqrt{3}$．

    （3）如图，

    设物资在每千米铁路上运输费为1．公路上的费用为2．
    AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{10{0}^{2}-6{0}^{2}}$=80，
    令MD=x，则AM=80-x，
    BM=$\sqrt{{x}^{2}+6400}$，
    ∴总费用y=AM+2BM=80-x+2$\sqrt{{x}^{2}+6400}$，
    即y2+x2+6400+2xy-160x-160y=25600+4x2
    化简得：3x2-2xy+160x-y2+160y+19800=0，
    关于x的方程△≥O，
    即：y2-160y-13250≥0
    又∵y最小，
    ∴y=80+60$\sqrt{3}$．
    x=20$\sqrt{3}$，
    AM=80-20$\sqrt{3}$．

    点评 此题考查作图-应用与设计作图，利用轴对称作最短路线，正三角形的性质以及锐角三角函数关系和勾股定理等知识，利用特殊角的三角函数关系得出结论是解题关键．

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    7．化简或解方程：
    （1）$\sqrt{48}$-（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）-1+$\sqrt{3}$（$\sqrt{3}$-1）-30-|$\sqrt{3}$-2|
    （2）6x2+7x+2=0
    （3）（x-2）2-5（x-2）+6=0．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    8．已知△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，那么下列说法不正确的是（　　）
    A．AD是底边上的中线B．AD是底边上的高
    C．AD是顶角的平分线D．AD是一腰上的中线

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    5．（1）解方程：2x2-4x-1=0．
    （2）解方程：3x（x-2）=2（2-x） 
    （3）sin30°+cos245°-$\frac{1}{3}$tan260°．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    12．下列说法正确的是（　　）
    A．-2ab3的次数是3B．2x2+3x-1是三次三项式
    C．$\frac{1}{3}xy$的系数为$\frac{1}{3}$D．x+1是单项式

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    2．已知△ABC在平面直角坐标系中的位置，如图所示，A和点C的坐标分别为A（0，4）、C（3，1）．
    （1）画出△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后的△A′B′C′；
    （2）求点A旋转到点A′所经过的路线长（结果保留π）．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    9．已知二次函数y=-x2+bx+c，其图象经过A（2，3），B（-2，-5）．
    （1）求二次函数解析及顶点坐标，并画出这个函数的图象；
    （2）根据图象，直接写出：
    ①当函数值y为正数时，自变量x的取值范围；
    ②当-2＜x＜2时，函数值y的取值范围．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    6．不改变原式的值，将式子12-（+3）-（-4）+（-6）中的减法改成加法并省略括号、加号，则正确的结果是（　　）
    A．-12-3+4-6B．12-3-4-6C．12-3+4-6D．12+3-4-6

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：选择题

    7．如图，△ABC中，AB=AC=10cm，BD⊥AC于点D，且BD=6cm，动点P从点B出发，以1cm/s的速度，沿B→A的方向运动，到达点A时停止，动点Q从点A出发，以2cm/s的速度，沿A→C的方向运动，到达点C时停止，P、Q两点同时出发，设运动的时间为t（s），△APQ的面积为S（cm2），则S关于t的函数图象大致为（　　）
    A．B．C．D．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案