Question

【题目】在平面直角坐标系中，对于点和实数，给出如下定义：当时，以点为圆心，为半径的圆，称为点的倍相关圆.

例如，在如图1中，点的1倍相关圆为以点为圆心，2为半径的圆.

（1）在点中，存在1倍相关圆的点是________，该点的1倍相关圆半径为________.

（2）如图2，若是轴正半轴上的动点，点在第一象限内，且满足，判断直线与点的倍相关圆的位置关系，并证明.

（3）如图3，已知点，反比例函数的图象经过点，直线与直线关于轴对称.

①若点在直线上，则点的3倍相关圆的半径为________.

②点在直线上，点的倍相关圆的半径为，若点在运动过程中，以点为圆心，为半径的圆与反比例函数的图象最多有两个公共点，直接写出的最大值.

Answer 1

【答案】（1）解：，3（2）解：直线与点的倍相关圆的位置关系是相切. （3）①点的3倍相关圆的半径是3；②的最大值是.

【解析】

（1）根据点的倍相关圆的定义即可判断出答案；

（2）设点的坐标为，求得点的倍相关圆半径为，再比较与点到直线直线的距离即可判断；

（3）①先求得直线的解析式，

（1）的1倍相关圆，半径为：，

的1倍相关圆，半径为：，不符合，

故答案为：，3；

（2）解：直线与点的倍相关圆的位置关系是相切，

证明：设点的坐标为，过点作于点，

∴点的倍相关圆半径为，

∴，

∵，

∴，

∴点的倍相关圆半径为，

∴直线与点的倍相关圆相切，

（3）①∵反比例函数的图象经过点，

∴，

∴点B的坐标为： ，

∵直线经过点和 ，

设直线的解析式为，

把代入得：，

∴直线的解析式为：，

∵直线与直线关于轴对称，

∴直线的解析式为：，

∵点在直线上，

设点C的坐标为： ，

∴点的3倍相关圆的半径是：，

故点的3倍相关圆的半径是3；

②的最大值是.