Question

【题目】如图，，点为内的一个动点，过点作与，使得，分别交、于点、.

（1）求证：；

（2）连接，若，试求的值；

（3）记，，，若，，且、、为整数，求、、的值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3），，.

【解析】

（1）利用三角形内角和定理可得出即可证明结论；

（2）结合角的三角函数以及相似三角形的性质可得出，利用，得出，最后利用勾股定理求解即可；

（3）设，则，，将式子转化为关于x的一元二次方程求解，利用求根公式以及a，b，的取值范围可求出c的求值范围，再求出整数解即可；同理可以令，求a的取值范围再求解．

解：（1）∵，，

∴，

又∵，

∴，

∴．

又∵，

∴．

（2）由（1）得：，

∴．

∵，

∴．

又，

∴是等腰三角形．

∴，即，

∴，即．

∵，

∴．

在中，设，则，

由勾股定理，得．

∴．

（3）解法一：由（1）知：，即，

设，则，．

∵，

∴，即（*）

又∵，

∴，即，

∴方程（*）应有根，

∴，

∴，（舍去）

由，解得：．

又∵为整数，

∴．

当时，方程（*）的根为无理数，此时不为整数，不合题意．

当时，，此时，，．

综上所述，，，．

解法二：由（1）知：，即，

设，则，．

∵，

∴，即（*）

又∵，

∴，

即方程（*）应有根满足．

∴或

解得：或，

∴

又∵为整数，

∴．

当时，方程（*）化为：，

解得：．

∴，．

当时，方程（*）的根为无理数，此时不为整数，不合题意．

综上所述，，，．