Question

5．如图，点C为线段AE上任意一点，在AE同侧分别作等边三角形△ABC和等边三角形△CDE，连接AD，BE分别交BC，CD于点M，N，连接MN，则下列结论：
①AD=BE；②AM=BN；③MN∥AE；④∠APE=120°；⑤△CMN是等边三角形；其中正确的结论有（　　）

• A． ①②③④⑤
• B． ①③④⑤
• C． ①②④⑤
• D． ①②③⑤

Answer 1

分析 由△ACD≌△BCE得AD=BE、∠CBE=∠DAC知①正确，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△CNB≌△CMA（ASA），再根据∠MCN=60°推出△CMN为等边三角形，又由∠MNC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知③⑤正确；根据△CNB≌△CMA（ASA），可知②正确；利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEP，于是∠APB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEP=∠DEC=60°，可知④正确；

解答 解：∵等边△ABC和等边△CDE，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，
在△ACD与△BCE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CBE=∠DAC，AD=BE，故①正确；
又∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，即∠ACM=∠BCN，
在△CNB和△CMA中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠CAM=∠CBN}\\{AC=BC}\\{∠ACM=∠BCN}\end{array}\right.$，
∴△CNB≌△CMA（ASA），
∴CM=CN，
又∵∠MCN=60°可知△CMN为等边三角形，故⑤正确；
∴∠MNC=∠DCE=60°，
∴MN∥AE，故③正确，
∵△CNB≌△CMA，
∴AM=BN，故②正确；
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，
∵等边△DCE，∠EDC=60°=∠BCD，
∴BC∥DE，
∴∠CBE=∠DEP，
∴∠APB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEP=∠DEC=60°，
∴∠APE=120°，故④正确．
正确的有：①②③④⑤．
故选：A．

点评 本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的判定与性质找到不变量，是解题的关键．