Question

【题目】如图，已知抛物线与轴相交于两点，点坐标为，抛物线的对称轴是直线

（1）求抛物线的解析式；

（2）点是轴右侧抛物线图像上的一动点，设点的横坐标为.

①是否存在这样的点使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；

②若该动点在第一象限内，连接，当时，求的值

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】

（1）将点A的坐标代入可得，由对称轴得，联立可得的值，即可确定抛物线解析式；

（2）由点A、B、C坐标可知.

① 分点P在第一象限和第四象限两种情况讨论，当点在第一象限时，过作交延长线于，作轴于，易证，由可知其相似比为，易知长，可得点坐标，求出直线的解析式与抛物线解析式联立即可确定点P坐标；当在第四象限时，作关于点的对称点，可知点P在直线上，求出直线的解析式与抛物线解析式联立即可确定点P坐标；

②分别过作直线的垂线，垂足分别为，并过作轴平行线交直线于点并设轴交直线于点，易得，于是，设直线解析式为，利用确定k值，求出直线解析式与抛物线解析式联立可得点P坐标，易知t值.

解：（1）将点代入得，由抛物线对称轴得，联立得，解得，所以抛物线的解析式为；

由得，

，即.

①当在第一象限时，过作交延长线于，作轴于

，，轴

，

其中，即相似比为

设直线解析式为，

将点，代入得

，解得

所以直线解析式为:

联立

解得

当在第四象限时，作关于点的对称点，则在直线上.

设直线解析式为，

将点代入得，解得

所以直线解析式为

联立

解得

综上，点坐标为或

即或；

②如图，分别过作直线的垂线，垂足分别为，并过作轴平行线交直线于点并设轴交直线于点.

由作图可知轴，

，

设直线解析式为，

则.

由已知得

解得

联立

解得

即.