Question

14．下列四个图形中，阴影部分的面积分别为P、Q，则四个图形中P、Q的面积分别相等的图形有3个．

Answer 1

分析 图①中，由正方形的性质得出OA=OD=OB=OC，∠OBM=∠OCN=45°，AC⊥BD，得出阴影P的面积=△BOC的面积，证出∠BOM=∠CON，由ASA证明△BOM≌△CON，得出△BOM的面积=△CON的面积，即可得出阴影P的面积=阴影Q的面积；
图②中，由反比例函数得出矩形AMOC的面积=矩形BDON的面积，则矩形AMNE的面积=矩形BDCE的面积，由矩形的性质即可得出阴影P的面积=阴影Q的面积；
图③中，通过计算得出扇形AOB的面积=两个小半圆的面积和，即可得出阴影P的面积=阴影Q的面积；
图④中，由大圆和小圆的半径的关系不确定，得出阴影P的面积和阴影Q的面积关系不确定；即可得出结论．

解答 解：图①中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OD=OB=OC，∠OBM=∠OCN=45°，AC⊥BD，
∴阴影P的面积=△BOC的面积，∠BOC=90°，
∵OM⊥ON，
∴∠MON=90°，
∴∠BOM=∠CON，
在△BOM和△CON中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OBM=∠OCN}&{\;}\\{OB=OC}&{\;}\\{∠BOM=∠CON}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BOM≌△CON（ASA），
∴△BOM的面积=△CON的面积，
∴阴影Q的面积=△BOC的面积，
∴阴影P的面积=阴影Q的面积；
图②中，
∵A和B是反比例函数图象上的点，
∴矩形AMOC的面积=矩形BDON的面积，
∴矩形AMNE的面积=矩形BDCE的面积，
∵阴影P的面积=$\frac{1}{2}$矩形AMNE的面积，阴影Q的面积=$\frac{1}{2}$矩形BDCE的面积，
∴阴影P的面积=阴影Q的面积；图③中，
∵扇形AOB的面积=$\frac{90}{360}$×πa²=$\frac{1}{4}$πa²，两个小半圆的面积和=2×$\frac{1}{2}$×π×（$\frac{1}{2}$a）²=$\frac{1}{4}$πa²，
∴扇形AOB的面积=两个小半圆的面积和，
∴阴影P的面积=阴影Q的面积；
∵大圆和小圆的半径的关系不确定，
∴阴影P的面积和阴影Q的面积关系不确定；
∴四个图形中P、Q的面积分别相等的图形有3个；
故答案为：3．

点评 本题是面积及等积变换题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、反比例函数与矩形面积的关系、扇形及圆的面积公式等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是图③中，通过计算得出扇形AOB的面积=两个小半圆的面积和才能得出结论．