Question

19．如图，AB与CD相交于点O，且∠OAD=∠OCB，延长AD、CB交于点P，那么图中的相似三角形的对数为4．

Answer 1

分析 图中有4对相似三角形，利用相似三角形的判定方法一一证明即可．

解答 解：如图，∵在△ABP与△CDP中，∠BAP=∠DCP，∠APB=∠CPD，
∴△ABP∽△CDP，
∴∠ABP=∠CDP，AP：CP=BP：DP，
∴∠ADO=∠CBO，
又∵∠OAD=∠OCB，
∴△OAD∽△OCB，
∴$\frac{OA}{OC}$=$\frac{OD}{OB}$，
∴$\frac{OA}{OD}$=$\frac{OC}{OB}$，∵∠AOC=∠DOB，
∴△AOC∽△DOB，
∵在△PAC与△PBD中，∠P=∠P，AP：BP=CP：DP
∴△PAC∽△PBD，
综上所述，图中的相似三角形有4对：△ABP∽△CDP，△OAD∽△OCB，△PAC∽△PBD，△AOC∽△DOB．
故答案是：4．

点评 本题考查了相似三角形的判定．①有两个对应角相等的三角形相似；
②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；
③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．