Question

【题目】如图，是的直径，是弦，是弧的中点，过点作垂直于直线垂足为，交的延长线于点．

求证:是的切线；

若，求的半径．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）⊙O的半径为．

【解析】

（1）证明EF是的切线，可以连接OD，证明OD⊥EF；

（2）要求的半径，即线段OD的长，在证明△EOD∽△EAF的基础上，利用对应线段成比例可得＝，其中AF=6，AE可利用勾股定理计算出来，OE可用含半径的代数式表示出，这样不难计算出半径OD的长．

（1）证明：连接OD．

∵EF⊥AF，

∴∠F＝90°．

∵D是的中点，∴．

∴∠EOD＝∠DOC＝∠BOC，

∵∠A＝∠BOC，∴∠A＝∠EOD，

∴OD∥AF．

∴∠EDO＝∠F＝90°．∴OD⊥EF，

∴EF是⊙O的切线；

（2）解：在Rt△AFE中，∵AF＝6，EF＝8，

∴＝＝10，

设⊙O半径为r，∴EO＝10﹣r．

∵∠A＝∠EOD，∠E＝∠E，

∴△EOD∽△EAF，∴＝，

∴．

∴r＝，即⊙O的半径为．