Question

10．已知四边形ABCD是矩形，BF=1，FC=3，沿EF，AF折叠，点C落在C₁处，点B落在FC₁边上的B₁，求AB=$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 过点F作FH⊥AD．设AB=x，首先证明△ABF∽△FCE，从而可得到EC=$\frac{3}{x}$，然后在Rt△HFC₁中，由勾股定理得HC₁的长度，从而可得到C₁D的长度，最后再证明△HFC₁∽△DC₁E，利用相似三角形的性质可求得x的值．

解答 解：过点F作FH⊥AD．设AB=x．

由折叠的性质可知：△ABF≌△AB₁F，△FCE≌△FC₁E，
∴∠BFA=∠B₁FA，∠CFE=∠C₁FE，EC=EC₁，FC=FC₁．
∴∠BFA+∠CFE=90°．
∵∠BFA+∠BAF=90°
∴∠BAF=∠CFE．
又∵∠B=∠C=90°
∴△ABF∽△FCE．
∴$\frac{AB}{BF}=\frac{FC}{EC}$，即$\frac{x}{1}=\frac{3}{EC}$．
∴EC=$\frac{3}{x}$．
在Rt△HFC₁中，由勾股定理得：HC₁=$\sqrt{F{{C}_{1}}^{2}-F{H}^{2}}=\sqrt{{3}^{2}-{x}^{2}}$，
∴C₁D=3-$\sqrt{9-{x}^{2}}$．
∵∠FC₁E=90°，
∴∠HC₁F+∠EC₁D=90°．
又∵∠EC₁D+∠C₁ED=90°．
∴∠HC₁F=∠C₁ED．
又∵∠D=∠FHC₁=90°
∴△HFC₁∽△DC₁E．
∴$\frac{{C}_{1}D}{FH}=\frac{{C}_{1}E}{F{C}_{1}}$，即$\frac{3-\sqrt{9-{x}^{2}}}{x}=\frac{\frac{3}{x}}{3}$．
解得：x=$\sqrt{5}$或x=-$\sqrt{5}$（舍去）．
故答案为：$\sqrt{5}$．

点评 本题考查图形的翻折变换、勾股定理、相似三角形的性质和判定，利用相似三角形的性质求得AB的长度是解题的关键．